2013-湖南卷文-16 解-三角恒等变换

本题导读

本题考查三角恒等变换。核心在于积化和差、整体代换的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年湖南卷(文)） 已知函数 $f(x)=\cos x\cdot \cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)$.

(1)求 $f\left(\frac{2\pi }{3}\right)$ 的值；

(2)求使 $f(x)<\frac{1}{4}$ 成立的 $x$ 的取值集合.

🔍【思路分析】

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1. （1）$f\left(\frac{2\pi }{3}\right)=\cos \frac{2\pi }{3}\cdot \cos \frac{\pi }{3}=-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=-\frac{1}{4}$。
2. （2）$f(x)=\frac{1}{2}\left[\cos \frac{\pi }{3}+\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)\right]=\frac{1}{2}\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)+\frac{1}{4}$。
3. $f(x)<\frac{1}{4}$ ⟺ $\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)<0$：$2k\pi +\frac{\pi }{2}<2x-\frac{\pi }{3}<2k\pi +\frac{3\pi }{2}$。
4. 解得 $k\pi +\frac{5\pi }{12}<x<k\pi +\frac{11\pi }{12}$。

✅【答案】

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(1)$-\frac{1}{4}$；(2)$x$ 的取值集合为 $\left\{x|k\pi +\frac{5\pi }{12}<x<k\pi +\frac{11\pi }{12},k\in \mathbf{Z}\right\}$

✍【详细解析】

Abstract

（1） $f\left(\frac{2\pi }{3}\right)=\cos \frac{2\pi }{3}\cdot \cos \left(\frac{2\pi }{3}-\frac{\pi }{3}\right)=-\cos \frac{\pi }{3}\cdot \cos \frac{\pi }{3}=-\frac{1}{4}.$ （2）由积化和差公式： $f(x)=\cos x\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\left[\cos \frac{\pi }{3}+\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)\right]=\frac{1}{2}\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)+\frac{1}{4}.$ $f(x)<\frac{1}{4}⟺\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)<0$，故 $2k\pi +\frac{\pi }{2}<2x-\frac{\pi }{3}<2k\pi +\frac{3\pi }{2},k\in \mathbf{Z}.$ 各边加 $\frac{\pi }{3}$ 再除以 $2$： $k\pi +\frac{5\pi }{12}<x<k\pi +\frac{11\pi }{12},k\in \mathbf{Z}.$ 所以 $x$ 的取值集合为 $\left\{x|k\pi +\frac{5\pi }{12}<x<k\pi +\frac{11\pi }{12},k\in \mathbf{Z}\right\}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角恒等变换与解不等式

核心方法：$f(x)=\cos x\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)+\frac{1}{4}$；(1) $f\left(\frac{2\pi }{3}\right)=-\frac{1}{4}$；(2) $f(x)<\frac{1}{4}$ ⟺ $\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)<0$ → $k\pi +\frac{5\pi }{12}<x<k\pi +\frac{11\pi }{12}$

避坑指南：积化和差路径：$\cos x\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}[\cos \frac{\pi }{3}+\cos (2x-\frac{\pi }{3})]$——或者展开用降幂；解 $\cos <0$ 时区间端点 $\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}$ 别反了，最后回代解 $x$ 时除以 $2$ 别忘。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角恒等变换（积化和差/降幂，湖南卷解答题首题）。

结论推广：积化和差；整体代换解三角不等式。

方法推广：化一角一名 → 代值 → 解 $\cos <0$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-15 解-三角恒等变换求角
• 2013-安徽卷文-16 解-三角和角与变换
• 2013-山东卷文-18 解-三角恒等变换对称