2013-福建卷文-13 填-分段函数求值

本题导读

本题考查分段函数，以及函数求值。

📌【题干】

Question

（2013年福建卷(文)） 已知函数 $f(x)=2x^3$（$x<0$），$f(x)=-\tan x$（$0⩽x<\frac{\pi }{2}$），则 $f\left(f\left(\frac{\pi }{4}\right)\right)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. $\frac{\pi }{4}\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right)$ → $f\left(\frac{\pi }{4}\right)=-\tan \frac{\pi }{4}=-1$。
2. $-1<0$ → $f(-1)=2\times (-1{)}^3=-2$。

✅【答案】

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$-2$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：$\frac{\pi }{4}\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right)$，代入第二段 $f\left(\frac{\pi }{4}\right)=-\tan \frac{\pi }{4}=-1.$ 第二步：$-1<0$，代入第一段 $f(-1)=2\times (-1{)}^3=-2.$ 故 $f\left(f\left(\frac{\pi }{4}\right)\right)=-2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分段函数的复合求值

核心方法：$f\left(\frac{\pi }{4}\right)=-\tan \frac{\pi }{4}=-1$，$f(-1)=2\times (-1{)}^3=-2$

避坑指南：复合求值由内向外逐段代入——每一步都要先看自变量落在哪一段；$-1<0$ 要进第一段 $2x^3$，惯性套第二段就会错成 $1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分段函数求值（复合两次，福建卷填空基础题）。

结论推广：逐段核对区间再代入；$\tan \frac{\pi }{4}=1$。

方法推广：先算内层 $f\left(\frac{\pi }{4}\right)$ → 判断结果落段 → 再算外层。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-13 填-分段函数值域
• 2013-山东卷文-03 单-奇函数求值