2013-福建卷理-09 单-等比数列的性质

本题导读

本题考查等比数列，以及等比数列的性质。

📌【题干】

Question

（2013年福建卷(理)） 已知等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$，记 $b_n=a_{m(n-1)+1}+a_{m(n-1)+2}+\cdots +a_{m(n-1)+m}$，$c_n=a_{m(n-1)+1}\cdot a_{m(n-1)+2}\cdot \cdots \cdot a_{m(n-1)+m}$ ($m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$)，则以下结论一定正确的是()

A. 数列 $\{b_n\}$ 为等差数列，公差为 $q^m$

B. 数列 $\{b_n\}$ 为等比数列，公比为 $q^{2m}$

C. 数列 $\{c_n\}$ 为等比数列，公比为 $q^{m^2}$

D. 数列 $\{c_n\}$ 为等比数列，公比为 $q^m$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析数列 $\{b_n\}$：
   • $b_n$ 是等比数列中每连续 $m$ 项的和。
   • 利用等比数列性质：若 $\{a_n\}$ 是等比数列，则每连续 $m$ 项的和（若和不为 0）构成的数列仍为等比数列。
   • 计算相邻两项之比 $\frac{b_{n+1}}{b_n}$。
2. 分析数列 $\{c_n\}$：
   • $c_n$ 是等比数列中每连续 $m$ 项的积。
   • 利用通项公式 $a_n=a_1{q}^{n-1}$，将 $c_{n+1}$ 与 $c_n$ 中的每一项对应，寻找整体倍数关系。
3. 计算公比：
   • 对于积数列，比较 $c_{n+1}$ 的每一项与 $c_n$ 对应位置项的下标差值。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析数列 $\{b_n\}$ 的性质 $b_n=a_{m(n-1)+1}+a_{m(n-1)+2}+\cdots +a_{m(n-1)+m}$ $b_{n+1}=a_{mn+1}+a_{mn+2}+\cdots +a_{mn+m}$ 由于 $\{a_n\}$ 是等比数列，$a_{mn+k}=a_{m(n-1)+k}\cdot q^m$。 则 $b_{n+1}=q^m(a_{m(n-1)+1}+a_{m(n-1)+2}+\cdots +a_{m(n-1)+m})=q^m{b}_n$。 所以 $\{b_n\}$ 为等比数列，公比为 $q^m$（前提是 $b_n\ne 0$）。 故 A、B 错误。

第二步：分析数列 $\{c_n\}$ 的性质 $c_n=a_{m(n-1)+1}\cdot a_{m(n-1)+2}\cdot \cdots \cdot a_{m(n-1)+m}$ $c_{n+1}=a_{mn+1}\cdot a_{mn+2}\cdot \cdots \cdot a_{mn+m}$ 比较对应项： $\frac{c_{n+1}}{c_n}=\frac{a_{mn+1}}{a_{m(n-1)+1}}\cdot \frac{a_{mn+2}}{a_{m(n-1)+2}}\cdot \cdots \cdot \frac{a_{mn+m}}{a_{m(n-1)+m}}$ 每一组对应项的下标差均为 $mn+k-[m(n-1)+k]=m$。 因为是等比数列，所以每一对之比均为 $q^m$。 共有 $m$ 对这样的乘积，所以： $\frac{c_{n+1}}{c_n}=(q^m)\cdot (q^m)\cdot \cdots \cdot (q^m)=(q^m{)}^m=q^{m^2}$。 由于 $c_n$ 每一项均不为 0（等比数列项不为 0），比值为常数 $q^{m^2}$。 所以 $\{c_n\}$ 为等比数列，公比为 $q^{m^2}$。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：见详细解析

核心方法：“下标位移法”。通过观察相邻项之间对应的下标偏移量，可以快速锁定公比的幂次。

避坑指南：注意 $b_n$ 可能为 0（如 $q=-1,m=2$ 时），但题目问的是“一定正确”，通常在选择题语境下考虑非零常规情况。而积数列 $c_n$ 绝不会为 0。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差数列的片段和性质（新数列仍为等差，公差为 $m^{2}d$）。

结论推广：见详细解析。

方法推广：“下标位移法”。通过观察相邻项之间对应的下标偏移量，可以快速锁定公比的幂次。

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