2013-辽宁卷文-16 填-方差定最大值

本题导读

本题考查样本的方差与平均数。

📌【题干】

Question

（2013年辽宁卷(文)） 为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取 5 个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据. 已知样本平均数为 7，样本方差为 4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为 　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\sum (x_i-7{)}^2=5\times 4=20$，且 $\sum (x_i-7)=0$。
2. 互异整数偏差只能是 $\{-3,-1,0,1,3\}$（$9+1+0+1+9=20$）。
3. 数据 $\{4,6,7,8,10\}$，最大 $10$。

✅【答案】

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$10$

✍【详细解析】

Abstract

设样本数据为 $x_1,\cdots ,x_5$，平均数 $\bar{x}=7$，方差 $s^2=4$： ${\sum }_{i=1}^5(x_i-7{)}^2=5s^2=20,{\sum }_{i=1}^5(x_i-7)=0.$ $x_i$ 为互不相同的整数，偏差 $d_i=x_i-7$ 为互不相同的整数，平方和为 20。 可能的平方组合（和为 20）：$16+4+0+\cdots$（$|d|⩾4$ 时余量 $4$ 至多由一个 $2^2$ 补足，偏差个数不够且符号难配平，逐一验证无解）；可行的只有 $9+9+1+1+0=20\text{即}\{d_i\}=\{-3,-1,0,1,3\}$ （和恰好为零，正负配平）。 故样本数据为 $4,6,7,8,10$，互不相同，满足全部条件。 最大值为 $10$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：样本方差与最值（平方数分解）

核心方法：$(x_1-7{)}^2+\cdots +(x_5-7{)}^2=5\times 4=20$，五个互不相同的整数：$9+1+0+1+9=20$ → 数据 $\{4,6,7,8,10\}$，最大值 $10$

避坑指南：方差 $\times$ 样本量 = 偏差平方和；五个互异整数、偏差和为零、平方和 20 → 偏差只能取 $\pm 3,\pm 1,0$（$9+9+1+1+0=20$ 且和为零的对称结构）——若让某个偏差到 $\pm 4$，平方 16 后剩余平方和与互异条件无法满足，需论证排除。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：样本方差公式逆用（偏差平方和的整数分解）。

结论推广：方差公式逆用；对称结构分解。

方法推广：算偏差平方和 → 分析互异整数偏差组合 → 定最大值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷文-10 单-茎叶图方差
• 2013-湖北卷文-12 填-平均数与标准差
• 2013-安徽卷文-17 解-茎叶图与平均数