2013-辽宁卷理-04 单-数列单调性

本题导读

本题考查数列的概念，以及数列的单调性。

📌【题干】

Question

（2013年辽宁卷(理)） 下面是关于公差 $d>0$ 的等差数列 $\{a_n\}$ 的四个命题：

$p_1$：数列 $\{a_n\}$ 是递增数列；

$p_2$：数列 $\{n{a}_n\}$ 是递增数列；

$p_3$：数列 $\left\{\frac{a_n}{n}\right\}$ 是递增数列；

$p_4$：数列 $\{a_n+3nd\}$ 是递增数列；

其中的真命题为()

A. $p_1,p_2$　　　　B. $p_3,p_4$　　　　C. $p_2,p_3$　　　　D. $p_1,p_4$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析 $p_1$：利用等差数列项的差 $a_{n+1}-a_n=d$ 进行判断。
2. 分析 $p_2,p_3$：构造差值式 $(n+1)a_{n+1}-n{a}_n$ 或取特值（尤其是首项 $a_1<0$ 的情况）验证。
3. 分析 $p_4$：计算相邻项之差，看是否恒大于 0。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

判定 $p_1$： 因为 $\{a_n\}$ 是等差数列且公差 $d>0$，则 $a_{n+1}-a_n=d>0$ 恒成立。 所以 $\{a_n\}$ 必为递增数列，$p_1$ 为真命题。

判定 $p_2$： 设 $b_n=n{a}_n$，则 $b_{n+1}-b_n=(n+1)a_{n+1}-n{a}_n=(n+1)(a_n+d)-n{a}_n=a_n+(n+1)d$。 若 $a_1$ 是一个很小的负数，例如 $a_1=-100,d=1$，当 $n=1$ 时，$b_2-b_1=a_1+2d=-100+2=-98<0$。 此时数列前几项不是递增的，故 $p_2$ 为假命题。

判定 $p_3$： 设 $c_n=\frac{a_n}{n}$，则 $c_{n+1}-c_n=\frac{a_{n+1}}{n+1}-\frac{a_n}{n}=\frac{n(a_n+d)-(n+1)a_n}{n(n+1)}=\frac{nd-a_n}{n(n+1)}$。 若 $a_1$ 很大，例如 $a_1=100,d=1$，当 $n=1$ 时，$nd-a_n=1-100=-99<0$。 此时数列不是递增的，故 $p_3$ 为假命题。

判定 $p_4$： 设 $f_n=a_n+3nd$，则相邻项之差为： $f_{n+1}-f_n=(a_{n+1}+3(n+1)d)-(a_n+3nd)=(a_{n+1}-a_n)+3d=d+3d=4d$。 由于 $d>0$，所以 $4d>0$ 恒成立。 所以 $\{a_n+3nd\}$ 必为递增数列，$p_4$ 为真命题。

综上，$p_1$ 和 $p_4$ 是真命题。

故正确答案为：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

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核心考点：见详细解析

核心方法：见详细解析

避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

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试题探源：见详细解析

结论推广：见详细解析。

方法推广：见详细解析

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 19.01 等差数列全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷文-09 单-数列单调
• 2023-新高考I卷-20 解-数列
• 2014-福建卷文-17 解-数列