2013-辽宁卷理-14 填-等比数列通项

本题导读

本题考查等比数列，以及等比数列的通项公式。

📌【题干】

Question

（2013年辽宁卷(理)） 已知等比数列 $\{a_n\}$ 是递增数列，$S_n$ 是 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和.若 $a_1,a_3$ 是方程 $x^2-5x+4=0$ 的两个根，则 $S_6=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解方程求项：首先解一元二次方程 $x^2-5x+4=0$，求出两个根。这两个根即为 $a_1$ 和 $a_3$。
2. 判定单调性：根据 $\{a_n\}$ 是“递增数列”这一条件，确定 $a_1$ 和 $a_3$ 的具体数值（小的为 $a_1$，大的为 $a_3$）。
3. 求基本量：利用等比数列通项公式 $a_3=a_1{q}^2$ 求出公比 $q$（注意 $q$ 的符号）。
4. 求和计算：将 $a_1,q,n=6$ 代入等比数列前 $n$ 项和公式 $S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$ 计算结果。

✅【答案】

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63

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求解方程 解方程 $x^2-5x+4=0$： $(x-1)(x-4)=0$ 得方程的两个根为 $1$ 和 $4$。 所以 $\{a_1,a_3\}=\{1,4\}$。

第二步：确定数列基本量 因为等比数列 $\{a_n\}$ 是递增数列，所以必有 $a_1<a_3$。 故 $a_1=1,a_3=4$。 由等比数列性质 $a_3=a_1\cdot q^2$ 得： $4=1\cdot q^2⟹q^2=4$ 由于数列递增且 $a_1>0$，则公比 $q$ 必须大于 $1$（若 $q=-2$，数列将正负交替，不满足递增）。 故 $q=2$。

第三步：计算前 6 项和 将 $a_1=1,q=2,n=6$ 代入求和公式： $S_6=\frac{a_1(1-q^6)}{1-q}=\frac{1\times (1-2^6)}{1-2}=\frac{1-64}{-1}=63$

故填入答案为：63。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列通项公式与前 $n$ 项和公式的综合运用。

核心方法：通过已知条件（方程的根、单调性）锁定数列的首项 $a_1$ 和公比 $q$。

避坑指南：* 单调性误判：必须注意“递增”条件。若忽略此条件，可能会出现 $a_1=4,a_3=1$ 的错误情况。 * 公比符号：$q^2=4$ 虽然有 $\pm 2$ 两个值，但结合递增且项为正数，只能取 $q=2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比中项（本题中 $a_2^2=a_1{a}_3=4$）、韦达定理的应用。

结论推广：若等比数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_n>0$，则“递增”等价于 $q>1$。

方法推广：解决数列基本量问题，通常思路是“化异为同”，将所有已知条件都转化为关于 $a_1$ 和 $q$ 的方程。

🔗【关联脉络】

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