2013-重庆卷文-10 单-双曲线离心率范围

本题导读

本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的渐近线。

📌【题干】

Question

（2013年重庆卷(文)） 设双曲线 $C$ 的中心为点 $O$，若有且只有一对相交于点 $O$、所成的角为 $60^{\circ }$ 的直线 $A_1{B}_1$ 和 $A_2{B}_2$，使 $|A_1{B}_1|=|A_2{B}_2|$，其中 $A_1,B_1$ 和 $A_2,B_2$ 分别是这对直线与双曲线 $C$ 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是()

A. $\left(\frac{2\sqrt{3}}{3},2\right]$　　　B. $\left[\frac{2\sqrt{3}}{3},2\right)$　　　C. $\left(\frac{2\sqrt{3}}{3},+\infty \right)$　　　D. $\left[\frac{2\sqrt{3}}{3},+\infty \right)$

🔍【思路分析】

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1. 直线 $y=\tan \theta \cdot x$ 过中心，与 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 有交点 $\iff {\tan }^2\theta <\frac{b^2}{a^2}$。
2. 等弦 $\Rightarrow$ 两直线倾角 ${\theta }_1,{\theta }_2$ 满足 ${\tan }^2{\theta }_1={\tan }^2{\theta }_2$ → 关于轴对称；成 $60^{\circ }$ → 只有 $\pm 30^{\circ }$ 对与 $\pm 60^{\circ }$ 对。
3. “有且只有一对” → $\tan 30^{\circ }<\frac{b}{a}⩽\tan 60^{\circ }$ → $\frac{1}{3}<\frac{c^2-a^2}{a^2}⩽3$ → $\frac{4}{3}<e^2⩽4$。
4. $e\in \left(\frac{2\sqrt{3}}{3},2\right]$ → A。

✅【答案】

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（A）

✍【详细解析】

Abstract

不妨设双曲线为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$），中心为原点 $O$。 一、过中心的弦长。 设直线 $l:y=\tan \theta \cdot x$ 过 $O$，代入双曲线方程： $x^2\left(\frac{1}{a^2}-\frac{{\tan }^2\theta }{b^2}\right)=1.$ 有交点当且仅当 ${\tan }^2\theta <\frac{b^2}{a^2}$；此时弦长 $|AB|=\frac{2}{\sqrt{\frac{{\cos }^2\theta }{a^2}-\frac{{\sin }^2\theta }{b^2}}},$ 它只依赖 ${\tan }^2\theta$，故 $|AB(\theta )|=|AB(-\theta )|$。 二、成 $60^{\circ }$ 且等弦的直线对。 等弦要求两直线倾角 ${\theta }_1,{\theta }_2$ 满足 ${\tan }^2{\theta }_1={\tan }^2{\theta }_2$，即 ${\theta }_2=-{\theta }_1$（关于 $x$ 轴对称，或关于 $y$ 轴对称，同一情形）。于是成 $60^{\circ }$ 角的等弦对只有两类： · 对称于 $x$ 轴的 $\pm 30^{\circ }$ 对； · 对称于 $x$ 轴的 $\pm 60^{\circ }$ 对。 三、“有且只有一对”的翻译。 · 若 $\frac{b}{a}⩽\frac{1}{\sqrt{3}}$：$\pm 30^{\circ }$ 对与渐近线不相交（或重合于渐近线），$0$ 对，不合题意； · 若 $\frac{b}{a}>\sqrt{3}$：两对都相交，$2$ 对，不合题意； · 若 $\frac{1}{\sqrt{3}}<\frac{b}{a}⩽\sqrt{3}$：$\pm 30^{\circ }$ 对相交（恰一对），而 $\pm 60^{\circ }$ 对不相交，符合”有且只有一对”。 故 $\frac{1}{\sqrt{3}}<\frac{b}{a}⩽\sqrt{3}⟹\frac{1}{3}<\frac{b^2}{a^2}⩽3.$ 四、换算离心率。 由 $b^2=c^2-a^2$： $\frac{1}{3}<\frac{c^2-a^2}{a^2}⩽3⟹\frac{1}{3}<e^2-1⩽3⟹\frac{4}{3}<e^2⩽4.$ 又 $e>1$，所以 $\frac{2}{\sqrt{3}}<e⩽2,\text{即}e\in \left(\frac{2\sqrt{3}}{3},2\right].$ 选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的离心率范围（渐近线夹角）

核心方法：过中心的弦 $AB$ 长只依赖 ${\tan }^2\theta$：直线 $y=\tan \theta \cdot x$ 与双曲线有交点当且仅当 ${\tan }^2\theta <\frac{b^2}{a^2}$；成 $60^{\circ }$ 且等弦的直线对只能是”对称于 $x$ 轴的 $\pm 30^{\circ }$ 对”或”$\pm 60^{\circ }$ 对”。“有且只有一对” → $\tan 30^{\circ }<\frac{b}{a}⩽\tan 60^{\circ }$ → $\frac{1}{3}<\frac{b^2}{a^2}⩽3$ → $\frac{4}{3}<e^2⩽4$ → $e\in \left(\frac{2\sqrt{3}}{3},2\right]$

避坑指南：两端取舍是本题命门：$\frac{b}{a}⩽\frac{1}{\sqrt{3}}$ 时连 $\pm 30^{\circ }$ 对都无交点（$0$ 对）；$\frac{b}{a}>\sqrt{3}$ 时 $\pm 60^{\circ }$ 对也相交（$2$ 对）；只有 $\left(\frac{1}{\sqrt{3}},\sqrt{3}\right]$ 恰好一对 → 离心率左开右闭，选项 B、C、D 的端点错误由此而来。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线的离心率与渐近线的位置关系。

结论推广：过中心的弦长公式；渐近线斜率与相交条件；不等式两端取舍。

方法推广：写弦长与 $\tan \theta$ 的关系 → 由”恰一对”定 $\frac{b}{a}$ 范围 → 换算 $e$ 并查端点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷文-04 单-双曲线渐近线
• 2013-北京卷文-07 单-双曲线离心率充要
• 2014-四川卷文-11 填-双曲线离心率