2013-重庆卷理-08 单-程序框图

本题导读

本题考查算法，以及程序框图。

📌【题干】

Question

（2013年重庆卷(理)） 执行如题(8)图所示的程序框图，如果输出 $S=3$，那么判断框内应填入的条件是()

A. $k\le 6$　　　　　　B. $k\le 7$　　　　　　C. $k\le 8$　　　　　　D. $k\le 9$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析程序结构：这是一个循环结构。初始状态 $S=1,k=2$。
2. 理解累乘逻辑：循环体内执行 $S=S\cdot {\log }_k(k+1)$，随后 $k=k+1$。
3. 推导 $S$ 的表达式：
   • 第一次循环：$S=1\cdot {\log }_{2}3$，$k=3$。
   • 第二次循环：$S={\log }_{2}3\cdot {\log }_{3}4$，$k=4$。
   • …以此类推。
4. 利用换底公式化简：${\log }_{2}3\cdot {\log }_{3}4\cdot {\log }_{4}5\cdots {\log }_{m-1}m={\log }_{2}m$。
5. 求解临界值：已知最终输出 $S=3$，即 ${\log }_{2}m=3⟹m=2^3=8$。
6. 判定终止条件：分析最后一次进入循环时的 $k$ 值与退出循环时的 $k$ 值，确定判断框内的不等式边界。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：模拟循环过程

• 初始：$S=1,k=2$。
• 第 1 次循环：进入循环，执行 $S=1\cdot {\log }_{2}3={\log }_{2}3$，随后 $k=3$。
• 第 2 次循环：进入循环，执行 $S={\log }_{2}3\cdot {\log }_{3}4$，随后 $k=4$。
• …
• 第 $(m-2)$ 次循环：进入循环，执行 $S={\log }_{2}3\cdot {\log }_{3}4\cdots {\log }_{m-1}m$，随后 $k=m$。

第二步：化简累乘式 根据对数换底公式 ${\log }_{a}b=\frac{\lg b}{\lg a}$，有： $S=\frac{\lg 3}{\lg 2}\cdot \frac{\lg 4}{\lg 3}\cdot \frac{\lg 5}{\lg 4}\cdots \frac{\lg m}{\lg (m-1)}=\frac{\lg m}{\lg 2}={\log }_{2}m$

第三步：建立等式 已知输出结果 $S=3$，则： ${\log }_{2}m=3⟹m=2^3=8$ 这说明最后一次参与运算的对数项是 ${\log }_{7}8$。

第四步：确定判断框条件 回顾最后一次运算：

• 当 $k=7$ 时，满足条件进入循环，执行 $S=\cdots \cdot {\log }_{7}8$，随后 $k$ 变为 $8$。
• 当 $k=8$ 时，不再满足条件，跳出循环输出 $S$。

因此，判断框内的条件应当允许 $k=7$ 通过，但拦截 $k=8$。 对比选项：

• (A) $k\le 6$：$k=7$ 无法进入，错误。
• (B) $k\le 7$：$k=7$ 进入，$k=8$ 退出，正确。
• (C) $k\le 8$：$k=8$ 仍会进入，错误。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：见详细解析

核心方法：“对数链式消去法”。在涉及多个对数连乘时，换底公式是唯一的化简路径。 2. 易错点：循环变量 $k$ 的自增顺序。注意先计算 $S$ 后增加 $k$。

避坑指南：分清“判断框条件”与“累乘最后一项”的对应关系。如果是 $k<8$，本质与 $k\le 7$ 等价（针对整数）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：指对数互化、循环变量的步长。

结论推广：若输出 $S=n$，则最后一项参与运算的真数为 $2^n$。

方法推广：算法框图中的逆推题，通常先算出运算结果对应的变量状态，再代入分支节点进行区间判定。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点
• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2015-陕西卷文-07 单-程序框图
• 2015-福建卷文-04 单-程序框图
• 2015-湖南卷文-05 单-程序框图