2014-上海卷理-15 单-充分必要条件判定

本题导读

本题考查充分条件与必要条件的判定。通过分析两个不等式命题之间的逻辑推出关系，结合反例排除法，确定条件的充分性与必要性。

📌【题干】

Question

（2014年上海卷(理)） 设 $a,b\in \mathbb{R}$，则“$a+b>4$”是“$a>2$ 且 $b>2$”的 ()

A. 充分条件.　　　　　　　　　　　　B. 必要条件.

C. 充分必要条件.　　　　　　　　　　D. 既非充分又非必要条件.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 定义回顾：记 $p:a+b>4$，$q:a>2\text{ 且 }b>2$。
   • 若 $p⟹q$，则 $p$ 是 $q$ 的充分条件；
   • 若 $q⟹p$，则 $p$ 是 $q$ 的必要条件。
2. 充分性判定：尝试由 $a+b>4$ 能否推导出 $a>2$ 且 $b>2$。考虑使用反例。
3. 必要性判定：尝试由 $a>2$ 且 $b>2$ 能否推导出 $a+b>4$。利用不等式的加法法则。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：判定必要性（$q⟹p$） 已知 $a>2$ 且 $b>2$。 根据不等式的同向可加性： $a+b>2+2=4$ 所以 $q⟹p$ 成立。即“$a+b>4$”是“$a>2$ 且 $b>2$”的必要条件。

第二步：判定充分性（$p⟹q$） 已知 $a+b>4$。 我们尝试寻找反例： 设 $a=5,b=0$。 此时 $a+b=5+0=5>4$，满足条件 $p$。 但是 $b=0\le 2$，不满足条件 $q$（即“$a>2$ 且 $b>2$”不成立）。 所以 $p/⟹q$。即“$a+b>4$”不是“$a>2$ 且 $b>2$”的充分条件。

第三步：结论 综上所述，“$a+b>4$”是“$a>2$ 且 $b>2$”的必要不充分条件。 对应选项，选择必要条件。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：充分条件与必要条件的定义。

2. 核心方法：严格推导证成立、举反例证不成立。

3. 避坑指南：注意题目中“$A$ 是 $B$ 的什么条件”。本题中 $A=a+b>4$，$B=a>2\text{ 且 }b>2$。逻辑方向是从 $B$ 推向 $A$，故 $A$ 是 $B$ 的必要条件。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 集合的包含关系与逻辑条件的对应（若 $Q\subseteq P$，则 $P$ 是 $Q$ 的必要条件）。

2. 结论推广: 若 $q\Rightarrow p$ 成立，则 $p$ 是 $q$ 的必要条件（小范围能推出大范围）。

3. 方法推广: - 证明成立：利用不等式性质进行严格推导。 - 证明不成立：举出一个具体的反例（满足前提但不满足结论）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-04 单-充分必要条件判定
• 2013-山东卷理-07 单-充分必要条件判定
• 2026-北京卷-07 单-充分必要条件