2014-大纲卷文-20 解-独立事件概率

本题导读

恰 3 人 0.25、恰 4 人 0.06，至少 3 人 0.31；$k=2$ 时 $P(X>2)=0.31>0.1$ 不满足，$k=3$ 时 $P(X>3)=0.06<0.1$，最小值 $k=3$。

📌【题干】

Question

（2014年大纲卷(文)） 设每个工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某种设备的概率分别为 0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立.

(1) 求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率;

(2) 实验室计划购买 $k$ 台设备供甲、乙、丙、丁使用，若要求”同一工作日需使用设备的人数大于 $k$“的概率小于 0.1，求 $k$ 的最小值.

🔍【思路分析】

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恰 3 人 0.25、恰 4 人 0.06，至少 3 人 0.31；$k=2$ 时 $P(X>2)=0.31>0.1$ 不满足，$k=3$ 时 $P(X>3)=0.06<0.1$，最小值 $k=3$。

✅【答案】

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(1) 同一工作日至少 3 人需使用设备的概率为 0.31 (2) $k$ 的最小值为 3

✍【详细解析】

Abstract

(1) “至少 3 人” = “恰 3 人” ∪ “恰 4 人”，两类互斥。

恰 4 人：$0.6\times 0.5\times 0.5\times 0.4=0.06$。

恰 3 人（按不用设备的人分类）： 甲不用：$0.4\times 0.5\times 0.5\times 0.4=0.04$； 乙不用：$0.6\times 0.5\times 0.5\times 0.4=0.06$； 丙不用：$0.6\times 0.5\times 0.5\times 0.4=0.06$； 丁不用：$0.6\times 0.5\times 0.5\times 0.6=0.09$。

合计 $0.04+0.06+0.06+0.09=0.25$。

故至少 3 人的概率 $P=0.25+0.06=0.31$。

(2) 设需使用设备的人数为 $X$。

$k=2$ 时：$P(X>2)=P(X\ge 3)=0.31>0.1$，不满足；

$k=3$ 时：$P(X>3)=P(X=4)=0.06<0.1$，满足。

由于 $P(X>k)$ 随 $k$ 增大而不增，$k=3$ 之后再无更小的可行值之前需要检查的只有 $k=2,3$，故 $k$ 的最小值为 3。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：相互独立事件同时发生的概率；互斥事件概率加法；随机变量与不等式检验

2. 核心方法：按”谁不用设备”分类求恰 3 人；由小到大检验 $k$

3. 避坑指南：①”至少 3 人”要拆成互斥的”恰 3”与”恰 4”，别把四类”恰 3”的概率与 0.06 重复相加；②(2) 的检验顺序：先试最小的 $k$，$P(X>k)$ 随 $k$ 单调不增，第一个满足的就是最小值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 独立事件概率解答题（doc 考点定位：概率统计），与 2014 年新课标Ⅰ理第 5 题、新课标Ⅱ理第 5 题（概率）同章。

2. 结论推广: 一般地，$n$ 个独立事件”恰 $k$ 个发生”要对每种”不发生者的组合”求积再相加；”$P(X>k)<\alpha$ 求 $k$“利用单调性从小到大逐一检验即可。

3. 方法推广: 概率应用题：先定义事件、判断互斥与独立，再按”分类相加、分步相乘”展开。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-05 单-古典概型
• 2014-新课标II卷理-05 单-条件概率公式