2014-大纲卷理-19 解-直线与平面垂直的性质与判定

本题导读

本题以三棱柱为载体，综合考查空间中线线垂直的证明以及二面角的求解。第一问通过线面垂直的相互转化证明异面直线垂直；第二问通过线面距离确定关键长度，并利用三垂线定理构造二面角的平面角，最后通过解直角三角形求解。

📌【题干】

Question

（2014年大纲卷(理)） 如图，三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，点 $A_1$ 在平面 $ABC$ 内的射影 $D$ 在 $AC$ 上，$\angle ACB=90^{\circ }$，$BC=1$，$AC=C{C}_1=2$.

(1) 证明：$A{C}_1\perp A_{1}B$；

(2) 设直线 $A{A}_1$ 与平面 $BC{C}_1{B}_1$ 的距离为 $\sqrt{3}$，求二面角 $A_1-AB-C$ 的大小.

🔍【思路分析】

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1. 第一问证明垂直：
   • 首先利用射影 $D$ 在 $AC$ 上得 $A_{1}D\perp$ 平面 $ABC$，从而证明平面 $A{A}_1{C}_{1}C\perp$ 平面 $ABC$。
   • 结合 $\angle ACB=90^{\circ }$ 证明 $BC\perp$ 平面 $A{A}_1{C}_{1}C$。
   • 利用侧面 $A{A}_1{C}_{1}C$ 为菱形的性质（$AC=C{C}_1$）得到对角线垂直，再结合线面垂直的判定得出 $A{C}_1\perp$ 平面 $A_{1}BC$。
2. 第二问求二面角：
   • 确定线面距离：直线 $A{A}_1\parallel$ 平面 $BC{C}_1{B}_1$，其距离即点 $A_1$ 到平面的距离。通过作 $A_{1}E\perp C{C}_1$ 证明 $A_{1}E$ 为所求距离。
   • 求关键长度：由距离 $\sqrt{3}$ 利用角平分线或勾股定理求出 $A_{1}D$ 的长。
   • 构造平面角：作 $DF\perp AB$ 于 $F$，连 $A_{1}F$。由三垂线定理证明 $\angle A_{1}FD$ 为二面角 $A_1-AB-C$ 的平面角。
   • 计算：在 $Rt△A_{1}DF$ 中求正切值，得出角度。

✅【答案】

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所以 $A{C}_1\perp$ 平面 $A_{1}BC$。；所以二面角 $A_1-AB-C$ 的大小为 $\arctan \sqrt{15}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明： 因为 $A_{1}D\perp$ 平面 $ABC$，$A_{1}D\subset$ 平面 $A{A}_1{C}_{1}C$， 所以平面 $A{A}_1{C}_{1}C\perp$ 平面 $ABC$。 又因为 $BC\perp AC$，且平面 $A{A}_1{C}_{1}C\cap$ 平面 $ABC=AC$， 所以 $BC\perp$ 平面 $A{A}_1{C}_{1}C$。 连结 $A_{1}C$。在侧面 $A{A}_1{C}_{1}C$ 中，$AC=C{C}_1=2$，且该面为平行四边形，故其为菱形。 所以 $A{C}_1\perp A_{1}C$。 又因为 $BC\perp A{C}_1$，$A_{1}C\cap BC=C$， 所以 $A{C}_1\perp$ 平面 $A_{1}BC$。 因为 $A_{1}B\subset$ 平面 $A_{1}BC$，所以 $A{C}_1\perp A_{1}B$。

(2) 解：

因为 $BC\perp$ 平面 $A{A}_1{C}_{1}C$，$BC\subset$ 平面 $BC{C}_1{B}_1$， 所以平面 $A{A}_1{C}_{1}C\perp$ 平面 $BC{C}_1{B}_1$。 作 $A_{1}E\perp C{C}_1$ 于 $E$，则 $A_{1}E\perp$ 平面 $BC{C}_1{B}_1$。 因为 $A{A}_1\parallel$ 平面 $BC{C}_1{B}_1$， 所以 $A_{1}E$ 为直线 $A{A}_1$ 与平面 $BC{C}_1{B}_1$ 的距离，即 $A_{1}E=\sqrt{3}$。 在菱形 $A{A}_1{C}_{1}C$ 中，$A_{1}C$ 为 $\angle AC{C}_1$ 的平分线，由对称性得 $A_{1}D=A_{1}E=\sqrt{3}$。 在 $Rt△A_{1}DA$ 中，$AD=\sqrt{A{A}_1^2-A_1{D}^2}=\sqrt{2^2-(\sqrt{3}{)}^2}=1$。 由于 $AC=2$，故 $D$ 为 $AC$ 的中点。 作 $DF\perp AB$ 于 $F$，连结 $A_{1}F$。 因为 $A_{1}D\perp$ 平面 $ABC$，所以 $AB\perp A_{1}D$。 由 $DF\perp AB$ 且 $A_{1}D\cap DF=D$，得 $AB\perp$ 平面 $A_{1}DF$， 所以 $A_{1}F\perp AB$。 故 $\angle A_{1}FD$ 为二面角 $A_1-AB-C$ 的平面角。 在 $Rt△ABC$ 中，$BC=1,AC=2,AB=\sqrt{5}$。 由相似三角形 $ADF\sim ABC$ 可得：$\frac{DF}{BC}=\frac{AD}{AB}⟹DF=\frac{AD\times BC}{AB}=\frac{1\times 1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。 在 $Rt△A_{1}DF$ 中： $\tan \angle A_{1}FD=\frac{A_{1}D}{DF}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{5}}{5}}=\sqrt{15}$。 所以二面角 $A_1-AB-C$ 的大小为 $\arctan \sqrt{15}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面垂直判定定理（至少两条相交直线）；三垂线定理及其逆定理构造二面角。

2. 核心方法：“垂线法”。求解二面角的关键在于从一个面上的一点向棱作垂线。本题中 $D$ 是射影，起点明确，非常适合用几何法。

3. 避坑指南：证明 $A_{1}E$ 是线面距离时，必须先证平面垂直。计算 $DF$ 长时，利用底面三角形的面积法或相似比最简便。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 线面角、异面直线距离、空间向量模长运算。

2. 结论推广: 若三棱柱侧棱与底面不垂直，射影位置是连接底面性质与侧面性质的桥梁。

3. 方法推广: 坐标法。建立以 $C$ 为原点的空间直角坐标系，利用法向量夹角公式求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.05 几何法求空间角专题
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2013-辽宁卷理-18 解-直线与平面垂直判定
• 2013-北京卷文-17 解-线面垂直面面垂直
• 2013-新课标II卷理-04 单-线面垂直的性质