2014-安徽卷理-05 单-线性规划

本题导读

本题考查线性规划中的最优解不唯一问题。核心在于理解“最优解不唯一”意味着目标函数所在的直线与可行域的某条边界重合，通过比较斜率来确定参数的值。

📌【题干】

Question

（2014年安徽卷(理)） $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x+y-2\le 0\\ x-2y-2\le 0\\ 2x-y+2\ge 0\end{array}$，若 $z=y-ax$ 取得最大值的最优解不唯一，则实数 $a$ 的值为()

A. $\frac{1}{2}$ 或 $-1$　　　B. $2$ 或 $\frac{1}{2}$　　　C. $2$ 或 $1$　　　D. $2$ 或 $-1$

🔍【思路分析】

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1. 分析目标函数：将 $z=y-ax$ 转化为斜截式 $y=ax+z$。截距 $z$ 最大时，目标函数取得最大值。
2. 分析“最优解不唯一”：线性规划的最优解若在一条线段上取得，则目标函数的斜率必须与可行域边界线的斜率相等。
3. 确定可行域边界斜率：
   • $l_1:x+y-2=0⟹y=-x+2$，斜率 $k_1=-1$。
   • $l_2:x-2y-2=0⟹y=\frac{1}{2}x-1$，斜率 $k_2=\frac{1}{2}$。
   • $l_3:2x-y+2=0⟹y=2x+2$，斜率 $k_3=2$。
4. 数形结合：画出可行域，观察在平移 $y=ax+z$ 寻找最大截距的过程中，哪些边可能与目标直线重合。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定目标直线斜率 目标函数 $z=y-ax$ 对应的直线族为 $y=ax+z$，其斜率 $k=a$。

第二步：求边界斜率 可行域由以下三条直线围成： 5. 直线 $l_1:x+y-2=0$（斜率为 $-1$）； 6. 直线 $l_2:x-2y-2=0$（斜率为 $\frac{1}{2}$）； 7. 直线 $l_3:2x-y+2=0$（斜率为 $2$）。

第三步：结合图形判定 由图象可知（可行域为一个三角形）：

• 当 $a=k_1=-1$ 时，直线 $y=-x+z$ 与边 $x+y-2=0$ 重合，且向上平移时，整条边上的点都能使 $z$ 达到最大，符合“最优解不唯一”。
• 当 $a=k_3=2$ 时，直线 $y=2x+z$ 与边 $2x-y+2=0$ 重合，同样能使整条边上的点都取得最大值，符合题意。
• 当 $a=k_2=\frac{1}{2}$ 时，直线 $y=\frac{1}{2}x+z$ 与边 $x-2y-2=0$ 重合，但观察可行域位置，平移至此边时通常取得的是最小值而非最大值。

因此，$a$ 的值可以为 $2$ 或 $-1$。

故选 D


💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划中最优解不唯一问题。

2. 核心方法：把目标函数化为 $y=ax+z$，比较斜率确定与可行域边界重合的参数。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 目标函数斜率与可行域边界斜率的关系。

2. 结论推广: 最优解不唯一当且仅当目标直线与可行域某条边界重合。

3. 方法推广: 含参数线性规划先画出可行域，用平移与斜率比较判定。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2015-陕西卷文-11 单-线性规划
• 2015-福建卷文-10 单-线性规划
• 2015-湖南卷文-04 单-线性规划