2014-山东卷理-05 单-指数函数图象

本题导读

本题考查指数函数及其他基本初等函数的单调性。核心是通过指数不等式确定变量的大小关系，再验证各选项在对应区间内是否恒成立。

📌【题干】

Question

（2014年山东卷(理)） 已知实数 $x,y$ 满足 $a^x<a^y$ ($0<a<1$)，则下列关系式恒成立的是()

A. $\frac{1}{x^2+1}>\frac{1}{y^2+1}$　　　　　　　　　B. $\ln (x^2+1)>\ln (y^2+1)$

C. $\sin x>\sin y$　　　　　　　　　　　　　　　D. $x^3>y^3$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析已知条件：根据指数函数 $y=a^x$ 在 $0<a<1$ 时的单调性（减函数），由 $a^x<a^y$ 推导出 $x$ 与 $y$ 的大小关系。
2. 验证选项：
   • 选项 A、B：观察函数 $f(t)=\frac{1}{t^2+1}$ 和 $g(t)=\ln (t^2+1)$。这两个函数都是关于 $y$ 轴对称的偶函数，其单调性与自变量的绝对值有关。考虑 $x,y$ 的符号情况。
   • 选项 C：考察正弦函数 $y=\sin x$ 的周期性和波动性。
   • 选项 D：考察幂函数 $y=x^3$ 在整个实数集上的单调性。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：由已知条件确定 $x,y$ 关系 因为 $0<a<1$，所以指数函数 $y=a^t$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递减。 由 $a^x<a^y$ 可得： $x>y$

第二步：逐项分析排除

• A 选项：设 $x=1,y=-2$，满足 $x>y$。 此时 $\frac{1}{1^2+1}=\frac{1}{2}$，$\frac{1}{(-2{)}^2+1}=\frac{1}{5}$。满足 $\frac{1}{2}>\frac{1}{5}$。 但若设 $x=2,y=1$，则 $\frac{1}{5}<\frac{1}{2}$，不恒成立。其本质是 $y=\frac{1}{t^2+1}$ 在 $(0,+\infty )$ 递减，在 $(-\infty ,0)$ 递增。
• B 选项：同理，当 $x=1,y=-2$ 时，$\ln (1^2+1)=\ln 2$，$\ln ((-2{)}^2+1)=\ln 5$。 由于 $\ln 2<\ln 5$，故 $B$ 错误。
• C 选项：正弦函数 $y=\sin t$ 是周期函数。 若 $x=\pi ,y=0$，满足 $x>y$，但 $\sin \pi =0,\sin 0=0$，不满足 $\sin x>\sin y$。
  • D 选项：函数 $f(t)=t^3$ 是幂函数。 因为 $f^{\prime }(t)=3t^2\ge 0$，所以 $f(t)=t^3$ 在 $\mathbb{R}$ 上是严格单调递增函数。 由 $x>y$ 恒有 $x^3>y^3$ 成立。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：指数函数的底数范围对单调性的影响（$a>1$ 增，$0<a<1$ 减）。

2. 核心方法：单调性判定法。要使不等式 $f(x)>f(y)$ 在 $x>y$ 时恒成立，函数 $f(t)$ 必须在整个实数定义域内严格单调递增。

3. 避坑指南：处理偶函数（如 A, B 选项）时，不能直接根据 $x>y$ 推断函数值大小，必须考虑它们到原点的距离（即绝对值大小）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 复合函数的单调性（同增异减）。

2. 结论推广: 若 $f(x)$ 为奇函数且单调递增，则 $x>y⟺f(x)>f(y)$。

3. 方法推广: 面对选择题中“恒成立”的否定命题，举反例（特值法）通常是最快的方式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 04.01 指数与对数运算
• 05.03 专题-恒成立问题

类题演练 (Links)

• 2015-浙江卷文-05 单-函数图象
• 2015-新课标II卷文-11 单-函数图象
• 2014-福建卷文-08 单-函数图象