2014-新课标I卷文-17 解-等差数列错位相减

本题导读

$a_2=2$，$a_4=3$ 得 $a_n=\frac{n}{2}+1$；$\left\{\frac{a_n}{2^n}\right\}$ 为”等差 × 等比”型，错位相减得 $S_n=2-\frac{n+4}{2^{n+1}}$。

📌【题干】

Question

（2014年新课标I卷(文)） 已知 $\{a_n\}$ 是递增的等差数列，$a_2$，$a_4$ 是方程 $x^2-5x+6=0$ 的根.

(1) 求 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) 求数列 $\left\{\frac{a_n}{2^n}\right\}$ 的前 $n$ 项和.

🔍【思路分析】

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$a_2=2$，$a_4=3$ 得 $a_n=\frac{n}{2}+1$；$\left\{\frac{a_n}{2^n}\right\}$ 为”等差 × 等比”型，错位相减得 $S_n=2-\frac{n+4}{2^{n+1}}$。

✅【答案】

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(1) $a_n=\frac{n}{2}+1$ (2) $S_n=2-\frac{n+4}{2^{n+1}}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 方程 $x^2-5x+6=0$ 的根为 $2,3$。由数列递增知 $a_2=2$，$a_4=3$，故公差 $d=\frac{3-2}{2}=\frac{1}{2}$，$a_1=\frac{3}{2}$。

所以 $a_n=\frac{3}{2}+(n-1)\cdot \frac{1}{2}=\frac{n}{2}+1$。

(2) 记 $S_n=\frac{3}{4}+\frac{4}{8}+\cdots +\frac{n+2}{2^{n+1}}$（通项 $\frac{a_k}{2^k}=\frac{k+2}{2^{k+1}}$）。

错位：$\frac{1}{2}{S}_n=\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\cdots +\frac{n+1}{2^{n+1}}+\frac{n+2}{2^{n+2}}$。

相减：$\frac{1}{2}{S}_n=\frac{3}{4}+\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots +\frac{1}{2^{n+1}}\right)-\frac{n+2}{2^{n+2}}$，其中括号内是首项 $\frac{1}{8}$、公比 $\frac{1}{2}$ 的等比和 $=\frac{1}{4}-\frac{1}{2^{n+1}}$。

故 $\frac{1}{2}{S}_n=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2^{n+1}}-\frac{n+2}{2^{n+2}}=1-\frac{n+4}{2^{n+2}}$，

所以 $S_n=2-\frac{n+4}{2^{n+1}}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列的通项；错位相减法求和

2. 核心方法：韦达定理定 $a_2,a_4$；“等差 × 等比”型用错位相减

3. 避坑指南：①”递增”用于把根 2、3 按大小分配给 $a_2,a_4$；②错位相减后的等比和是 $\frac{1}{4}-\frac{1}{2^{n+1}}$（首项 $\frac{1}{8}$、公比 $\frac{1}{2}$、共 $n-1$ 项），项数差一就全错；最后一步别忘了乘回 2。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 等差数列与错位相减的常规解答题首题（doc 考点定位：数列），与 2014 年新课标Ⅰ理第 17 题同卷（理为递推数列）。

2. 结论推广: 一般地，$\{a_n\}$ 等差、$q^n$ 等比时，$\left\{\frac{a_n}{q^n}\right\}$ 型求和统一用错位相减；$a_n$ 为一次式时也可”拆项 + 已知公式 $\sum k/2^k$“加速。

3. 方法推广: 数列求和先辨型：等差 × 等比 ⟹ 错位相减；按”乘公比—错位—相减—等比求和—回乘”五步规范书写。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-17 解-由 a_n 与 S_n 的关