2014-新课标I卷文-21 解-导数存在性

本题导读

(1) $f^{\prime }(1)=1-b=0$ 得 $b=1$；(2) $a>1$ 直接成立；$a<1$ 时 $f$ 在 $[1,+\infty )$ 递增，“存在”等价于 $f(1)<\frac{a}{a-1}$，解得 $-\sqrt{2}-1<a<\sqrt{2}-1$。

📌【题干】

Question

（2014年新课标I卷(文)） 设函数 $f(x)=a\ln x+\frac{1-a}{2}{x}^2-bx$（$a\ne 1$），曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线斜率为 $0$.

(1) 求 $b$；

(2) 若存在 $x_0\ge 1$ 使得 $f(x_0)<\frac{a}{a-1}$，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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(1) $f^{\prime }(1)=1-b=0$ 得 $b=1$；(2) $a>1$ 直接成立；$a<1$ 时 $f$ 在 $[1,+\infty )$ 递增，“存在”等价于 $f(1)<\frac{a}{a-1}$，解得 $-\sqrt{2}-1<a<\sqrt{2}-1$。

✅【答案】

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(1) $b=1$ (2) $a$ 的取值范围为 $\left(-\sqrt{2}-1,\sqrt{2}-1\right)\cup (1,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $f^{\prime }(x)=\frac{a}{x}+(1-a)x-b$，$f^{\prime }(1)=a+(1-a)-b=1-b=0$，故 $b=1$。

(2) 此时 $f(x)=a\ln x+\frac{1-a}{2}{x}^2-x$，$f(1)=\frac{1-a}{2}-1=-\frac{1+a}{2}$。

情形一：$a>1$。 $\frac{a}{a-1}>0$，而 $f(1)<0$，取 $x_0=1$ 即满足，故 $a>1$ 全部成立。

情形二：$a<1$。 $f^{\prime }(x)=\frac{a}{x}+(1-a)x-1$，$f^{\prime }(1)=0$；$f^{\prime \prime }(x)=-\frac{a}{x^2}+(1-a)>0$（$x\ge 1$，$a<1$），故 $f^{\prime }$ 递增，$f^{\prime }(x)\ge f^{\prime }(1)=0$，$f$ 在 $[1,+\infty )$ 递增，最小值为 $f(1)$。

“存在 $x_0\ge 1$ 使 $f(x_0)<\frac{a}{a-1}$“等价于 $f(1)<\frac{a}{a-1}$，即 $-\frac{1+a}{2}<\frac{a}{a-1}$。

$a<1$ 时 $a-1<0$，去分母要变号：$(1+a)(a-1)>-2a$，即 $a^2-1>-2a$，$a^2+2a-1<0$，解得 $-1-\sqrt{2}<a<-1+\sqrt{2}$。

综上，$a$ 的取值范围是 $\left(-\sqrt{2}-1,\sqrt{2}-1\right)\cup (1,+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数的几何意义（切线）；利用导数讨论单调性与存在性问题

2. 核心方法：求导定 $b$；$a$ 分两段讨论，“存在”化为最小值与常数比较

3. 避坑指南：①去分母乘 $(a-1)$ 时必须按符号变号，这是最易错的一步；②$a>1$ 时 $\frac{a}{a-1}>0$ 而 $f(1)<0$，“存在”自动成立——别惯性思维只讨论 $a<1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 导数含参解答题压轴（doc 考点定位：导数的应用），与 2014 年新课标Ⅰ理第 21 题同卷（理为 $e^x$ 型函数）。

2. 结论推广: 一般地，“存在 $x_0\ge m$ 使 $f(x_0)<c$” $⟺$ $f$ 在 $[m,+\infty )$ 上的最小值 $<c$；单调性随参数变化时先分类。

3. 方法推广: 导数压轴的存在性问题：把”存在”翻译成最值比较，再按参数分段讨论单调性。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.18 恒成立问题——参变分离法

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-21 解-求曲线的切线
• 2015-新课标I卷文-21 解-导数综合