2014-新课标II卷理-16 填-直线与圆

本题导读

本题考查直线与圆的位置关系中的存在性问题。核心在于将“存在点 $N$ 使得角度为 $45^{\circ }$”转化为“角 $OMN$ 的最大值应大于或等于 $45^{\circ }$”。通过寻找切线这一临界状态，建立关于坐标 $x_0$ 的不等式。

📌【题干】

Question

（2014年新课标II卷(理)） 设点 $M(x_0,1)$，若在圆 $O:x^2+y^2=1$ 上存在点 $N$，使得 $\angle OMN=45^{\circ }$，则 $x_0$ 的取值范围是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 分析运动状态：点 $M$ 在直线 $y=1$ 上运动。对于每一个固定的 $M$，当点 $N$ 在圆上移动时，$\angle OMN$ 是一个变化的角。
2. 转化存在性问题：存在点 $N$ 使得 $\angle OMN=45^{\circ }$，等价于 $\angle OMN$ 的最大值应满足 $(\angle OMN{)}_{\max }\ge 45^{\circ }$。
3. 寻找最大角位置：在 $△OMN$ 中，$OM$ 的长度固定，半径 $ON=1$ 固定。当 $MN$ 与圆相切时（即 $MN\perp ON$），$\angle OMN$ 达到最大值。
4. 利用三角函数建立不等式：在直角 $△OMN$ 中，$\sin (\angle OMN{)}_{\max }=\frac{ON}{OM}=\frac{1}{OM}$。 因此条件转化为 $\frac{1}{OM}\ge \sin 45^{\circ }$。
5. 代入坐标求解：利用两点间距离公式代入 $M(x_0,1)$ 的坐标，解关于 $x_0$ 的不等式。

✅【答案】

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$[-1,1]$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定最大角的几何特征 设 $MN$ 与圆 $O$ 相切于点 $N$，连接 $ON$，则 $ON\perp MN$。 此时，$\angle OMN$ 取得最大值。 要使圆上存在点 $N$ 满足 $\angle OMN=45^{\circ }$，必须满足： $\sin (\angle OMN{)}_{\max }\ge \sin 45^{\circ }$


第二步：建立不等式 在直角 $△OMN$ 中，$ON=1$，$OM=\sqrt{x_0^2+1^2}$。 $\sin (\angle OMN{)}_{\max }=\frac{ON}{OM}=\frac{1}{\sqrt{x_0^2+1}}$ 根据存在性条件： $\frac{1}{\sqrt{x_0^2+1}}\ge \frac{\sqrt{2}}{2}$

第三步：解不等式求范围 两边平方（均为正数）： $\frac{1}{x_0^2+1}\ge \frac{1}{2}$ $x_0^2+1\le 2$ $x_0^2\le 1$ 解得： $-1\le x_0\le 1$

故答案为 $[-1,1]$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直线与圆的位置关系、存在性问题的几何转化。

2. 核心方法：将存在 $45^{\circ }$ 转化为 $\angle OMN$ 最大时满足条件，用切线构造直角三角形解不等式。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 圆外一点看圆的视角、切线性质与 $\sin$ 的临界关系。

2. 结论推广: 若要求 $\angle OMN$ 的最大值为 $\alpha$，则 $OM=\frac{r}{\sin \alpha }$。

3. 方法推广: 面对涉及圆上动点产生的角度问题，优先考虑以圆心为辅助点构造直角三角形。 3. 知识关联: 该模型与“圆外一点看圆的视角”问题本质相同。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系
• 17.06 圆的切线与极点极线

类题演练 (Links)

• 2023-新高考II卷-15 填-直线与圆
• 2015-湖南卷文-13 填-直线与圆
• 2015-新课标I卷文-20 解-直线与圆