2014-新课标II卷理-18 解-直线与平面平行判定

本题导读

本题是立体几何综合大题。第一问通过构造中位线证明线线平行，进而推证线面平行；第二问是难点，需要通过构造二面角的平面角，利用几何关系求出底面矩形的另一边长，最后计算三棱锥体积。

📌【题干】

Question

（2014年新课标II卷(理)） 如图，四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为矩形，$PA\perp$ 平面 $ABCD$，$E$ 为 $PD$ 的中点.

(1) 证明：$PB//$ 平面 $AEC$；

(2) 设二面角 $D-AE-C$ 为 $60^{\circ }$，$AP=1$，$AD=\sqrt{3}$，求三棱锥 $E-ACD$ 的体积.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：证明线面平行
   • 寻找中点：连接 $BD$ 交 $AC$ 于点 $O$。由于 $ABCD$ 是矩形，则 $O$ 是 $BD$ 的中点。
   • 构造中位线：在 $△PDB$ 中，$E,O$ 分别为 $PD,BD$ 的中点，得 $EO//PB$。
   • 定理应用：由线线平行推导出线面平行。
2. 第二问：求三棱锥体积
   • 二面角平面角：延长 $AE$ 至 $M$，连结 $DM$，使得 $AM\perp DM$。利用矩形和垂直关系证明 $CD\perp$ 平面 $AMD$，从而推出 $CD\perp DM$。此时 $\angle CMD$ 即为二面角 $D-AE-C$ 的平面角。
   • 求解几何量：在 $△PAD$ 中计算相关长度，利用 $\angle CMD=60^{\circ }$ 解出 $CD$。
   • 计算体积：$V_{E-ACD}$ 的底面积为 $S_{△ACD}$，高为点 $E$ 到平面 $ABCD$ 的距离（即 $\frac{1}{2}PA$）。

✅【答案】

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第 (1) 小题：证明 $PB//$ 平面 $AEC$；第 (2) 小题：求三棱锥 $E-ACD$ 的体积

✍【详细解析】

Abstract

第 (1) 小题：证明 $PB//$ 平面 $AEC$

证明：连接 $BD$ 交 $AC$ 于点 $O$，连接 $EO$。 因为底面 $ABCD$ 为矩形， 所以 $O$ 为 $BD$ 的中点。 又因为 $E$ 为 $PD$ 的中点， 在 $△PDB$ 中，$EO$ 是 $△PDB$ 的中位线， 所以 $EO//PB$。 因为 $EO\subset$ 平面 $AEC$，$PB\not\subset$ 平面 $AEC$， 所以 $PB//$ 平面 $AEC$。

第 (2) 小题：求三棱锥 $E-ACD$ 的体积

解：延长 $AE$ 至 $M$，连结 $DM$，使得 $AM\perp DM$。 因为 $PA\perp$ 平面 $ABCD$，$CD\subset$ 平面 $ABCD$，所以 $PA\perp CD$。 在矩形 $ABCD$ 中，$AD\perp CD$。 又 $PA\cap AD=A$，所以 $CD\perp$ 平面 $PAD$。 因为 $AE\subset$ 平面 $PAD$，所以 $CD\perp AE$。 又因为 $AM\perp DM$，即 $AE\perp DM$，且 $CD\cap DM=D$， 所以 $AE\perp$ 平面 $MCD$。 由此得 $AE\perp MC$，则 $\angle CMD$ 为二面角 $D-AE-C$ 的平面角，即 $\angle CMD=60^{\circ }$。

在直角 $△PAD$ 中，$AP=1,AD=\sqrt{3}$， 由勾股定理得 $PD=\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=2$。 又 $E$ 为 $PD$ 中点，$AE=\frac{1}{2}PD=1$（直角三角形斜边中线性质）。 在 $△PAD$ 中，$\sin \angle PAD=1$，$AE$ 是中线。 经计算（或利用面积法），在 $△ADE$ 中，高 $DM=\frac{AD\cdot AP}{PD}=\frac{\sqrt{3}\times 1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。 在直角 $△MCD$ 中，$\tan \angle CMD=\frac{CD}{DM}$， 所以 $CD=DM\cdot \tan 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}\times \sqrt{3}=\frac{3}{2}$。

三棱锥 $E-ACD$ 的高为点 $E$ 到平面 $ABCD$ 的距离 $h=\frac{1}{2}PA=\frac{1}{2}$。 底面 $△ACD$ 的面积 $S=\frac{1}{2}AD\cdot CD=\frac{1}{2}\times \sqrt{3}\times \frac{3}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$。 三棱锥 $E-ACD$ 的体积为： $V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}\times \frac{3\sqrt{3}}{4}\times \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{8}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面平行的判定、二面角的平面角与三棱锥体积。

2. 核心方法：构造中位线证 $EO\parallel PB$ 得线面平行；作二面角平面角求 $CD$ 后算体积。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 线面垂直的判定与性质、矩形的对角线性质、棱锥的体积。 3. 难度分析: 本题属于高考中档偏难题目，对几何直观能力和逻辑推理能力要求较高。

2. 结论推广: 直棱柱/垂棱锥中建立空间直角坐标系求二面角与体积是通用做法。

3. 方法推广: 第二问也可以通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量夹角公式求解 $CD$ 的长度。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.05 几何法求空间角专题
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-18 解-直线与直线平行
• 2013-湖北卷理-19 解-直线与平面平行、垂直判定
• 2013-江苏卷-16 解-面面平行判定