2014-江苏卷-13 填-周期性

本题导读

本题考查分段周期函数的零点个数问题。核心在于将函数零点问题转化为两个函数图象的交点问题，通过绘制周期图象与直线 $y=a$ 的交点分布来确定参数范围。

📌【题干】

Question

（2014年江苏卷） 已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上且周期为 $3$ 的函数，当 $x\in [0,3)$ 时，$f(x)=|x^2-2x+\frac{1}{2}|$.若函数 $y=f(x)-a$ 在区间 $[-3,4]$ 上有 $10$ 个零点（互不相同），则实数 $a$ 的取值范围是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 转化问题：函数 $y=f(x)-a$ 的零点即为方程 $f(x)=a$ 的根，在图象上体现为函数 $y=f(x)$ 与直线 $y=a$ 的交点。
2. 分析 $f(x)$ 在一个周期内的特征：
   • 考虑 $g(x)=x^2-2x+\frac{1}{2}=(x-1{)}^2-\frac{1}{2}$。
   • 当 $x=1$ 时，极小值为 $-\frac{1}{2}$；当 $x=0$ 时，$g(0)=\frac{1}{2}$；当 $x=3$ 时，$g(3)=\frac{7}{2}$。
   • $f(x)=|g(x)|$，在 $[0,3)$ 上的最大值为 $f(3^{-})=\frac{7}{2}$，局部极大值为 $f(1)=\frac{1}{2}$，极小值为 $0$。
3. 利用周期性作图：根据周期 $T=3$，将 $[0,3)$ 的图象向左、向右平移，画出 $[-3,4]$ 范围内的完整图象。
4. 数交点个数：观察直线 $y=a$ 与图象在指定区间内的交点，寻找交点数为 $10$ 时的 $a$ 值区间。

✅【答案】

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$(0,\frac{1}{2})$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析单周期图象 当 $x\in [0,3)$ 时，$f(x)=|(x-1{)}^2-\frac{1}{2}|$。

• $f(0)=\frac{1}{2}$， $f(1)=\frac{1}{2}$， $f(3^{-})=\frac{7}{2}$。
• 令 $f(x)=0$，得 $(x-1{)}^2=\frac{1}{2}$，即 $x=1\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$（两个零点）。
• 在一个周期内，若 $0<a<\frac{1}{2}$，直线 $y=a$ 与 $f(x)$ 有 $4$ 个交点；若 $a=\frac{1}{2}$，有 $3$ 个交点；若 $\frac{1}{2}<a<\frac{7}{2}$，有 $2$ 个交点。

第二步：确定区间范围内的周期分布 区间 $[-3,4]$ 的长度为 $7$。

• $[-3,0)$ 是一个完整周期；
• $[0,3)$ 是一个完整周期；
• $[3,4]$ 是三分之一个周期（对应 $[0,1]$ 段）。

第三步：计算交点总数

• 在第一个周期 $[-3,0)$ 内：若 $0<a<\frac{1}{2}$，有 $4$ 个交点。
• 在第二个周期 $[0,3)$ 内：若 $0<a<\frac{1}{2}$，有 $4$ 个交点。
• 在剩余段 $[3,4]$ 内：由于 $f(3)=f(0)=\frac{1}{2}$，$f(4)=f(1)=\frac{1}{2}$，且在该段内函数先减小到 $0$ 再增加到 $\frac{1}{2}$。若 $0<a<\frac{1}{2}$，该段有 $2$ 个交点。
• 总交点数 = $4+4+2=10$ 个。

第四步：确定 $a$ 的范围 当 $a=0$ 时，交点为函数自身的零点，总数为 $2+2+1=5$ 个（不符）。 当 $a=\frac{1}{2}$ 时，交点数为 $3+3+2=8$ 个（不符）。 当 $0<a<\frac{1}{2}$ 时，交点数恰好为 $10$。

故答案为 $(0,\frac{1}{2})$


💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：周期函数的图象绘制及方程根的几何意义。

2. 核心方法：数形结合。对于根的个数问题，画图是最高效且直观的策略。

3. 避坑指南：注意区间端点 $[-3,4]$ 的开闭，以及在非完整周期段（如本题的 $[3,4]$）内交点的精确个数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 函数的对称性、对值变换 $y=|f(x)|$ 的作图规则（留上翻下）。

2. 结论推广: 周期函数的零点个数可借助周期分段累加。

3. 方法推广: 涉及 $f(x)=g(x)$ 根的个数问题，常转化为 $y=f(x)$ 与 $y=g(x)$ 交点问题。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.02 函数的四大性质
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2013-江苏卷-01 填-正弦型函数的周期性
• 2014-陕西卷文-02 单-三角周期
• 2014-新课标II卷文-16 填-数列周期