2014-江苏卷-17 解-椭圆的标准方程

本题导读

本题是解析几何综合大题，考查椭圆标准方程的求解以及利用直线垂直关系求离心率。第一问利用点在曲线上和几何常数关系建立方程；第二问通过联立直线与椭圆方程确定点坐标，结合斜率乘积为 -1 建立离心率方程。

📌【题干】

Question

（2014年江苏卷） 如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，$F_1,F_2$ 分别为椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$) 的左、右焦点，顶点 $B$ 的坐标为 $(0,b)$.连接 $B{F}_2$ 并延长交椭圆于点 $A$，过点 $A$ 作 $x$ 轴的垂线交椭圆于另一点 $C$，连接 $F_{1}C$.

(1) 若点 $C$ 的坐标为 $(\frac{4}{3},\frac{1}{3})$，且 $B{F}_2=\sqrt{2}$，求椭圆的方程；

(2) 若 $F_{1}C\perp AB$，求椭圆离心率 $e$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：
   • 利用 $B{F}_2=\sqrt{2}$ 以及椭圆性质 $B{F}_2=a$，确定 $a$ 的值。
   • 将点 $C$ 坐标代入椭圆方程，建立关于 $b$ 的方程并求解。
2. 第二问：
   • 设 $F_1(-c,0),F_2(c,0),B(0,b)$。写出直线 $AB$（即直线 $B{F}_2$）的方程。
   • 将直线方程与椭圆方程联立，求出点 $A$ 的横坐标，进而得到点 $C$ 的坐标（$A,C$ 关于 $x$ 轴对称）。
   • 计算直线 $F_{1}C$ 的斜率 $k_{F_{1}C}$。
   • 利用 $F_{1}C\perp AB⟹k_{F_{1}C}\cdot k_{AB}=-1$，建立关于 $a,b,c$ 的等式，转化为离心率 $e$ 的方程求解。

✅【答案】

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故椭圆方程为：$\frac{x^2}{2}+y^2=1$。；故离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求椭圆方程 在椭圆中，由几何性质知 $B{F}_2=\sqrt{0^2+b^2+c^2}=\sqrt{b^2+c^2}=a$。 已知 $B{F}_2=\sqrt{2}$，故 $a=\sqrt{2}$，$a^2=2$。 将 $C(\frac{4}{3},\frac{1}{3})$ 代入椭圆方程 $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 得： $\frac{(\frac{4}{3}{)}^2}{2}+\frac{(\frac{1}{3}{)}^2}{b^2}=1⟹\frac{16}{18}+\frac{1}{9b^2}=1$ $\frac{8}{9}+\frac{1}{9b^2}=1⟹\frac{1}{9b^2}=\frac{1}{9}⟹b^2=1$ 故椭圆方程为：$\frac{x^2}{2}+y^2=1$。

(2) 求离心率 $e$ 设 $F_2(c,0)$，$B(0,b)$，则直线 $AB$ 的方程为：$\frac{x}{c}+\frac{y}{b}=1$，即 $y=-\frac{b}{c}x+b$。 联立直线与椭圆方程： $\{\begin{array}{l}y=-\frac{b}{c}x+b\\ b^2{x}^2+a^2{y}^2=a^2{b}^2\end{array}⟹b^2{x}^2+a^2(-\frac{b}{c}x+b{)}^2=a^2{b}^2$ 化简得：$(b^2{c}^2+a^2{b}^2)x^2-2a^2{b}^{2}cx=0$。 解得 $x_B=0$（对应点 $B$），$x_A=\frac{2a^{2}c}{a^2+c^2}$。 由于 $AC\perp x$ 轴，则点 $C$ 的横坐标为 $x_C=\frac{2a^{2}c}{a^2+c^2}$。 代入直线方程得 $y_A=\frac{b(c^2-a^2)}{a^2+c^2}$，由于 $A,C$ 关于 $x$ 轴对称，$y_C=-\frac{b(c^2-a^2)}{a^2+c^2}=\frac{b(a^2-c^2)}{a^2+c^2}$。 直线 $F_{1}C$ 的斜率为： $k_{F_{1}C}=\frac{y_C-0}{x_C-(-c)}=\frac{\frac{b(a^2-c^2)}{a^2+c^2}}{\frac{2a^{2}c}{a^2+c^2}+c}=\frac{b(a^2-c^2)}{2a^{2}c+a^{2}c+c^3}=\frac{b(a^2-c^2)}{3a^{2}c+c^3}$ 因为 $F_{1}C\perp AB$，所以 $k_{F_{1}C}\cdot k_{AB}=-1$： $\frac{b(a^2-c^2)}{3a^{2}c+c^3}\times (-\frac{b}{c})=-1⟹\frac{b^2(a^2-c^2)}{3a^2{c}^2+c^4}=1$ 代入 $b^2=a^2-c^2$ 得： $(a^2-c^2{)}^2=3a^2{c}^2+c^4⟹a^4-2a^2{c}^2+c^4=3a^2{c}^2+c^4$ $a^4=5a^2{c}^2⟹\frac{c^2}{a^2}=\frac{1}{5}$ 故离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆的几何常数关系 $a^2=b^2+c^2$ 及直线垂直的斜率条件。

2. 核心方法：坐标法。通过联立方程求出交点坐标，进而利用斜率公式建立等式是解析几何的通用套路。

3. 避坑指南：联立方程后的化简计算量较大，注意提取公因式 $b^2$ 简化运算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 椭圆的几何常数关系 $a^2=b^2+c^2$ 及直线垂直的斜率条件。

2. 结论推广: 在椭圆中，若直线过焦点且与某些特殊线段垂直，其离心率往往是定值。

3. 方法推广: 对于离心率问题，目标始终是建立关于 $a,b,c$ 的齐次方程。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.06 离心率专题
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2014-山东卷文-14 填-圆的标准方程
• 2014-大纲卷文-09 单-椭圆标准方程
• 2013-广东卷文-09 单-椭圆标准方程