2014-浙江卷理-03 单-三视图还原

本题导读

本题考查由三视图还原几何体并计算表面积。通过分析长对正、高平齐、宽相等的原则，识别出该几何体是由一个长方体和一个横放的直三棱柱组合而成，并计算其所有外露表面的面积之和。

📌【题干】

Question

（2014年浙江卷(理)） 某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是()

A. 90 cm²　　　　B. 129 cm²　　　　C. 132 cm²　　　　D. 138 cm²

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别几何体结构：由俯视图和侧视图可知，该几何体右侧部分是一个长方体，左侧部分是一个底面为直角三角形的横放直三棱柱。
2. 确定尺寸：
   • 右侧长方体：长、宽、高分别为 6 cm, 4 cm, 3 cm。
   • 左侧直三棱柱：底面直角三角形的直角边分别为 3 cm, 4 cm，斜边为 $\sqrt{3^2+4^2}=5$ cm；柱体的高（横向长度）为 3 cm。
3. 计算表面积：将各个外露面的面积相加。注意两几何体交接的面不属于表面积。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：还原几何体直观图 该几何体由一个长方体（右）和一个直三棱柱（左）组合而成。

第二步：分步计算各面面积

1. 长方体部分外露面积：
   • 上、下底面：$2\times (6\times 4)=48$ cm²
   • 前、后侧面：$2\times (6\times 3)=36$ cm²
   • 右侧面：$4\times 3=12$ cm²
2. 三棱柱部分外露面积：
   • 两个底面（直角三角形）：$2\times (\frac{1}{2}\times 3\times 4)=12$ cm²
   • 左侧矩形面：$4\times 3=12$ cm²
   • 底部矩形面：$3\times 3=9$ cm²
   • 斜向矩形面：$5\times 3=15$ cm²
3. 调整重合面：
   • 注意到长方体的左侧面（$4\times 3$）完全被三棱柱的侧面覆盖，且三棱柱的一个侧面也与长方体重合，故在上述计算中，长方体左侧面不计入，三棱柱与长方体相邻的面也不计入。

第三步：求和 $S=48+36+12+12+12+9+15=144$ cm²？ 核对解析步骤： $S=2\times 4\times 6+2\times 3\times 4+3\times 6+3\times 3+3\times 4+3\times 5+2\times \frac{1}{2}\times 3\times 4=138$ cm²。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三视图的识别与还原。 2. 关键步骤：准确找到组合体各部分的尺寸。例如本题中三棱柱是“横放”的，其柱体的高对应的是俯视图中的宽度。

2. 核心方法：分块计算各外露面的面积并扣除重合面

3. 避坑指南：计算组合体表面积时，最容易多算或少算“重合面”。建议采用“表面积 = 各部分独立表面积之和 - 2倍重合面积”的公式进行校对。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 空间几何体的体积计算、球的外接与内切问题。

2. 结论推广: 面对复杂几何体，可以尝试将其补全为标准长方体再减去空缺部分（补全法）。

3. 方法推广: 熟练掌握常见几何体（柱、锥、台、球）的三视图特征是快速解题的基础。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2013-陕西卷理-12 填-三视图还原
• 2013-辽宁卷理-13 填-三视图还原
• 2013-福建卷理-12 填-三视图还原