2014-湖北卷理-03 单-交集与补集

本题导读

本题考查集合包含关系、补集性质与充分必要条件的判定。关键在于理解“存在”逻辑下集合关系的等价转换。

📌【题干】

Question

（2014年湖北卷(理)） 设 $U$ 为全集，$A,B$ 是集合，则“存在集合 $C$ 使得 $A\subseteq C,B\subseteq {\complement }_{U}C$”是“$A\cap B=\varnothing$”的()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

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1. 充分性判定：若存在满足条件的 $C$，利用 $C$ 与其补集交集为空的性质，推导 $A\cap B$ 的结果。
2. 必要性判定：已知 $A\cap B=\varnothing$，尝试构造一个具体的集合 $C$（如 $C=A$ 或 $C={\complement }_{U}B$），验证是否能使包含关系成立。
3. 结论总结：根据双向推导的结果确定逻辑关系。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

1. 充分性验证（若 $p\Rightarrow q$）： 已知存在集合 $C$ 使得 $A\subseteq C$ 且 $B\subseteq {\complement }_{U}C$。 由补集定义可知，$C\cap {\complement }_{U}C=\varnothing$。 因为 $A\subseteq C$ 且 $B\subseteq {\complement }_{U}C$， 所以 $A\cap B\subseteq C\cap {\complement }_{U}C=\varnothing$。 故 $A\cap B=\varnothing$ 成立。充分性成立。

2. 必要性验证（若 $q\Rightarrow p$）： 已知 $A\cap B=\varnothing$。 我们要寻找是否存在一个集合 $C$ 满足 $A\subseteq C$ 且 $B\subseteq {\complement }_{U}C$。 令 $C=A$。 可知有 $A\subseteq A$ 成立。 又因为 $A\cap B=\varnothing$，说明 $B$ 中的元素都不在 $A$ 中，根据补集定义有 $B\subseteq {\complement }_{U}A$。 既然存在这样的集合 $C$（即集合 $A$ 本身），则必要性成立。

综上所述，该条件是充要条件。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：集合包含关系、补集与充分必要条件

2. 核心方法：利用 $C\cap {\complement }_{U}C=\varnothing$ 证充分性，取 $C=A$ 构造证必要性

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 集合关系与逻辑条件的等价转化

2. 结论推广: 若 $A\subseteq C,B\subseteq {\complement }_{U}C$，则 $A\cap B=\varnothing$。

3. 方法推广: 可迁移到集合关系与充要条件判定类题

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2013-安徽卷文-02 单-补集交集
• 2013-湖北卷理-02 单-集合的补集与交集
• 2015-天津卷文-01 单-集合交补