2014-湖南卷理-08 单-增长率问题

本题导读

本题考查平均增长率的计算。解题关键在于理解年平均增长率的定义，即连续多年的复合增长效应等价于以平均增长率增长相同年份的效果。

📌【题干】

Question

（2014年湖南卷(理)） 某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为 $p$，第二年的增长率为 $q$，则该市这两年生产总值的年平均增长率为()

A. $\frac{p+q}{2}$　　B. $\frac{(p+1)(q+1)-1}{2}$　　C. $\sqrt{pq}$　　D. $\sqrt{(p+1)(q+1)}-1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设基数：设初始生产总值为 $a$。
2. 计算实际产值：
   • 第一年后的产值为 $a(1+p)$。
   • 第二年后的产值为 $a(1+p)(1+q)$。
3. 建立平均增长率模型：
   • 设年平均增长率为 $x$。
   • 则两年后的产值应表示为 $a(1+x{)}^2$。
4. 列方程求解：通过 $a(1+x{)}^2=a(1+p)(1+q)$ 解出 $x$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

设该市初始生产总值为 $a$，年平均增长率为 $x$。 第一步：计算两年的实际产值变化 第一年后产值：$a_1=a(1+p)$； 第二年后产值：$a_2=a_1(1+q)=a(1+p)(1+q)$。

第二步：利用平均增长率定义构建方程 根据平均增长率的定义，有： $a(1+x{)}^2=a(1+p)(1+q)$ 两边约去 $a$（$a>0$）： $(1+x{)}^2=(1+p)(1+q)$

第三步：开方求解 由于增长率 $x>-1$，则 $1+x>0$： $1+x=\sqrt{(1+p)(1+q)}$ $x=\sqrt{(p+1)(q+1)}-1$

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：年平均增长率的计算

2. 核心方法：设年均增长率 $x$，由 $a(1+x{)}^2=a(1+p)(1+q)$ 解出 $x$

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 复合增长率的复利模型

2. 结论推广: 两年年均增长率 $x=\sqrt{(1+p)(1+q)}-1$。

3. 方法推广: 可迁移到增长率、复利与平均增长类题

🔗【关联脉络】

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