2014-湖南卷理-14 填-线性规划

本题导读

本题考查含参数的线性规划问题。核心位置通过画出可行域，利用目标函数的几何意义（平移直线法）确定最简单的顶点，首先建立关于参数$k$的困难。

📌【题干】

Question

（2014年湖南卷(理)） 若指标$x,y$满足约束条件$\{\begin{array}{l}y\le x\\ x+y\le 4\\ y\ge k\end{array}$，且$z=2x+y$的为简单$-6$，则$k=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定的安装范围形状：

   • 直线$y=x$与$x+y=4$交于点$(2,2)$。

   • 约束条件$y\le x$和$x+y\le 4$确定了一个开口下部的三角形区域的上部边界。

   • $y\ge k$是平行于$x$轴的直线，它作为可行域的下边界。为了使可行域存在，必须满足$k\le 2$。

2. 分析目标函数：

   • $z=2x+y⟹y=-2x+z$。

   • 目标函数的几何意义是：斜率$-2$的一条平行线，$z$是该直线在$y$轴上的截距。

   • 要使$z$最小，需将直线向左下方平移，求解与移动域的顶点接触。

3. 锁定顶点解顶点：

   • 可行域的下边界两个边界分别为：

     • $A:\{\begin{array}{l}y=k\\ y=x\end{array}⟹(k,k)$

     • $B:\{\begin{array}{l}y=k\\ x+y=4\end{array}⟹(4-k,k)$

   • 比较两点处的$z$值：

     • $z_A=2k+k=3k$

     • $z_B=2(4-k)+k=8-k$

   • 由于目标直线斜率$-2$，比边界线$y=-x$更陡峭，通常在最上游的边缘$A(k,k)$处取得（也可通过代值比较：因$k\le 2$，则$3k\le 8-k$恒成立）。

4. 建立方程：令$3k=-6$现场。

✅【答案】

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$-2$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：绘制出可用域 由$\{\begin{array}{l}y\le x\\ x+y\le 4\end{array}$可知区域在交叉线的下方。加入$y\ge k$之后，安装域为一个三角形（或梯形/点，取决于$k$）。

第二步：确定最优解点 目标函数$z=2x+y$，即$y=-2x+z$。 当直线$y=-2x+z$经过可连接域最左下方的边界时，$z$达到直线。顶点为直线$y=x$与$y=k$的交点，即$M(k,k)$。

第三步：代入简单求参数 将点$(k,k)$代入$z=2x+y$：

$z_{\min }=2k+k=3k$

根据已知条件$z_{\min }=-6$：

$3k=-6⟹k=-2$

第四步：验证验证 当$k=-2$时，另一顶点$B(4-k,k)=(6,-2)$。 $z_B=2(6)+(-2)=10>-6$，符合最简单的定义。且此时顶点$(2,2)$满足$y\ge -2$，安装域有效。

故答案为 $-2$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：含参数的线性规划求最值

2. 核心方法：画可行域，最优解在 $y=x$ 与 $y=k$ 交点 $(k,k)$ 处，代入 $z_{\min }=3k=-6$ 求 $k$

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 线性规划可行域与目标函数最值

2. 结论推广: 含参可行域下目标函数最值取在参数决定的顶点处。

3. 方法推广: 可迁移到含参线性规划求参数类题

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2015-陕西卷文-11 单-线性规划
• 2015-福建卷文-10 单-线性规划
• 2015-湖南卷文-04 单-线性规划