2014-福建卷文-18 解-三角函数

本题导读

本题先用二倍角公式把 $f(x)=2\cos x(\sin x+\cos x)$ 化为 $\sin 2x+\cos 2x+1$，再用辅助角公式合并为 $\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)+1$，代入求值、读周期、解单调区间。

📌【题干】

Question

（2014年福建卷(文)）

(1) 已知 $f(x)=2\cos x(\sin x+\cos x)$，求 $f\left(\frac{5\pi }{4}\right)$；(2) 求 $f(x)$ 的最小正周期及单调递增区间.

🔍【思路分析】

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先化简：$f(x)=2\sin x\cos x+2{\cos }^{2}x=\sin 2x+1+\cos 2x=\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)+1$。(1) 代入 $x=\frac{5\pi }{4}$；(2) 由 $\omega =2$ 得周期，由 $-\frac{\pi }{2}+2k\pi ⩽2x+\frac{\pi }{4}⩽\frac{\pi }{2}+2k\pi$ 解增区间。

✅【答案】

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(1) $f\left(\frac{5\pi }{4}\right)$；(2) 最小正周期与递增区间

✍【详细解析】

详细解析

化简得 $f(x)=\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)+1$。 (1) $f\left(\frac{5\pi }{4}\right)=\sqrt{2}\sin \left(\frac{11\pi }{4}\right)+1=\sqrt{2}\sin \frac{3\pi }{4}+1=\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+1=2$。 (2) $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$；由 $-\frac{\pi }{2}+2k\pi ⩽2x+\frac{\pi }{4}⩽\frac{\pi }{2}+2k\pi$ 得 $k\pi -\frac{3\pi }{8}⩽x⩽k\pi +\frac{\pi }{8}$，即递增区间为 $\left[k\pi -\frac{3\pi }{8},k\pi +\frac{\pi }{8}\right](k\in \mathbf{Z})$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角恒等变换与正弦型函数性质
2. 核心方法：二倍角降幂 + 辅助角公式
3. 避坑指南：代入求值时相位 $\frac{11\pi }{4}$ 要先减 $2\pi$ 化为 $\frac{3\pi }{4}$ 再算，直接硬套容易出错；解单调区间时别忘乘 $\frac{1}{2}$ 回代到 $x$，并写 $k\in \mathbf{Z}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: “化简 — 求值 — 论性质”三段式是三角解答题的经典结构，本题 $f(x)$ 化简后系数为 $\sqrt{2}$、相位 $\frac{\pi }{4}$，均为命题人预设的“好数”。
2. 结论推广: 若把函数改为 $f(x)=2\cos x(\sin x-\cos x)$，则 $f(x)=\sqrt{2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)-1$，周期不变、区间整体右移 $\frac{\pi }{4}$。
3. 方法推广: 辅助角公式 $a\sin t+b\cos t=\sqrt{a^2+b^2}\sin (t+\phi )$ 是三角化简的核心枢纽，凡见“sin×cos + cos²”先降幂。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 07.03 三角函数的图象与性质
• 10.00 知识网络

类题演练 (Links)

• 2014-福建卷理-16 解-二倍角的正弦、余弦、正切公式
• 2014-新课标I卷理-06 单-三角函数的图象