2014-辽宁卷文-05 单-命题真假

本题导读

先分别判断 $p$、$q$ 的真假，再按「一真即真」确定含「或」的命题。

📌【题干】

Question

（2014年辽宁卷(文)） 设 $a$，$b$，$c$ 是非零向量，已知命题 $p$：若 $a\cdot b=0$，$b\cdot c=0$，则 $a\cdot c=0$；命题 $q$：若 $a\parallel b$，$b\parallel c$，则 $a\parallel c$，则下列命题中的真命题是()

A. $p\vee q$　　　　　B. $p\wedge q$　　　　　C. $(\neg p)\wedge (\neg q)$　　　　　D. $p\vee (\neg q)$

🔍【思路分析】

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$p$ 用坐标反例否定，$q$ 用非零向量共线的传递性肯定。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

先判断 $p$：取 $a=(1,0)$，$b=(0,1)$，$c=(1,0)$，则 $a\cdot b=0$，$b\cdot c=0$，但 $a\cdot c=1\ne 0$，所以 $p$ 是假命题。 再判断 $q$：$a$，$b$，$c$ 均为非零向量，若 $a\parallel b$ 且 $b\parallel c$，则 $a\parallel c$（共线关系具有传递性），所以 $q$ 是真命题。 因此 $p$ 假 $q$ 真，$p\vee q$ 真，$p\wedge q$ 假，$(\neg p)\wedge (\neg q)$ 假，$p\vee (\neg q)$ 假。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量的数量积与共线；复合命题的真假

2. 核心方法：特例检验判断命题真假

3. 避坑指南：由 $a\perp b$、$b\perp c$ 推不出 $a\perp c$（垂直没有传递性），$p$ 是假命题；共线关系对非零向量具有传递性，$q$ 是真命题。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 向量运算与简易逻辑的交汇。

2. 结论推广: 复合命题的真假：$p\vee q$ 一真即真；$p\wedge q$ 同真才真。

3. 方法推广: 判断含向量运算的命题真假，优先构造坐标形式的反例，一算即知。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷理-05 单-数量积的性质
• 2014-新课标I卷理-09 单-平面区域的表示