2014-辽宁卷理-03 单-指数函数图象

本题导读

本题考查指数式与对数式的大小比较，核心技巧是寻找合适的“中间值”（如 0 或 1）来划定各数值的范围，从而快速排序。

📌【题干】

Question

（2014年辽宁卷(理)） 已知 $a=2^{-\frac{1}{3}}$，$b={\log }_2\frac{1}{3}$，$c={\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{3}$，则()

A. $a>b>c$　　B. $a>c>b$　　C. $c>a>b$　　D. $c>b>a$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析 $a$ 的范围：根据指数函数的单调性，观察底数与 1 的关系以及指数的正负，判断其与 0 和 1 的大小。
2. 分析 $b$ 的范围：利用对数函数的性质，观察底数（大于 1）与真数（小于 1）的关系，判定其正负。
3. 分析 $c$ 的范围：利用换底公式或对数性质将 $c$ 化简。观察其底数与真数同在 $(0,1)$ 区间的情况，并与 1 进行比较。
4. 综合排序：对比三个数值所属的区间（如 $(-\infty ,0)$，$(0,1)$，$(1,+\infty )$）得出结论。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定 $a$ 的范围 $a=2^{-\frac{1}{3}}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{3}}$。 因为底数 $2>1$，指数 $-\frac{1}{3}<0$，或者底数 $\frac{1}{2}\in (0,1)$，指数 $\frac{1}{3}>0$， 根据指数函数性质可知：$0<2^{-\frac{1}{3}}<2^0=1$。 即：$0<a<1$。

第二步：确定 $b$ 的范围 $b={\log }_2\frac{1}{3}$。 因为底数 $2>1$，真数 $\frac{1}{3}<1$。 根据对数函数 $y={\log }_{2}x$ 的单调性，当 $x<1$ 时，$y<0$。 即：$b<0$。

第三步：确定 $c$ 的范围 $c={\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{3}$。 利用换底公式或负号提取： $c=\frac{{\log }_2\frac{1}{3}}{{\log }_2\frac{1}{2}}=\frac{-{\log }_{2}3}{-1}={\log }_{2}3$。 因为底数 $2>1$，真数 $3>2$， 根据对数函数性质可知：${\log }_{2}3>{\log }_{2}2=1$。 即：$c>1$。

第四步：比较大小 由上可知：$b<0$，$0<a<1$，$c>1$。 因此：$c>a>b$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：指数函数与对数函数的单调性及大小比较。

2. 核心方法：找中间值 $0$、$1$ 划分各数范围，再综合排序。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 幂指对函数的单调性。

2. 结论推广: 底数在 $(0,1)$ 时对数函数递减，底数大于 $1$ 时递增。

3. 方法推广: 比较大小题先判断各数与 $0$、$1$ 的大小关系，再细分区间。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2015-浙江卷文-05 单-函数图象
• 2015-新课标II卷文-11 单-函数图象
• 2014-福建卷文-08 单-函数图象