2014-重庆卷文-17 解-频率分布直方图

本题导读

(1) 五个矩形面积之和为 $1$；(2) 频率 $\times 20$ 得人数；(3) $[50,70)$ 共 $5$ 人，列举计数。

📌【题干】

Question

（2014年重庆卷(文)） $20$ 名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图.

(1) 求频率分布直方图中 $a$ 的值；

(2) 分别求出成绩落在 $[50,60)$ 与 $[60,70)$ 中的学生人数；

(3) 从成绩在 $[50,70)$ 的学生中任选 $2$ 人，求此 $2$ 人的成绩都在 $[60,70)$ 中的概率.

🔍【思路分析】

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(1) $(2a+3a+7a+6a+2a)\times 10=1$；(2) 频率 $=$ 纵坐标 $\times$ 组距 $10$；(3) ${\mathrm{C}}_5^2=10$ 个基本事件中 $3$ 个符合。

✅【答案】

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(1) $a=\frac{1}{200}=0.005$；(2) $[50,60)$ 内 $2$ 人，$[60,70)$ 内 $3$ 人；(3) $\frac{3}{10}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 组距为 $10$，各矩形面积之和为 $1$： $(2a+3a+7a+6a+2a)\times 10=200a=1$，解得 $a=\frac{1}{200}=0.005$。 (2) 成绩落在 $[50,60)$ 的频率为 $2a\times 10=0.1$，人数为 $20\times 0.1=2$（人）； 成绩落在 $[60,70)$ 的频率为 $3a\times 10=0.15$，人数为 $20\times 0.15=3$（人）。 (3) 成绩在 $[50,70)$ 的学生共 $2+3=5$ 人，其中 $[50,60)$ 的 $2$ 人记为 $A$，$B$，$[60,70)$ 的 $3$ 人记为 $c$，$d$，$e$。 从中任选 $2$ 人，基本事件共 ${\mathrm{C}}_5^2=10$ 个；其中 $2$ 人成绩都在 $[60,70)$ 的为 $(c,d)$，$(c,e)$，$(d,e)$，共 $3$ 个。 故所求概率 $P=\frac{3}{10}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：频率分布直方图与古典概型

2. 核心方法：频率 $=$ 纵坐标 $\times$ 组距、频数 $=$ 频率 $\times$ 样本容量

3. 避坑指南：★本卷合集答案把 $[60,70)$ 人数误作 $6$ 人、概率误作 $\frac{15}{28}$；以原卷图（$[60,70)$ 对应 $3a$）与官方解析为准，人数为 $3$ 人、概率 $\frac{3}{10}$。列举基本事件时 $(c,d)$ 与 $(d,c)$ 算同一个。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 频率分布直方图、古典概型。

2. 结论推广: 直方图中频率 $=$ 小矩形面积，各组频率之和为 $1$；古典概型 $P=\frac{m}{n}$。

3. 方法推广: 直方图与概率综合题先把”频率 $\to$ 频数”换算清楚，再按古典概型列举计数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 14.03 频率分布直方图中的数据计算
• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2014-北京卷文-18 解-频率分布直方图
• 2014-山东卷文-16 解-分层抽样与概率