2014-陕西卷文-03 单-共轭复数

本题导读

把 $\bar{z}$ 写出来相乘，或直接用 $z\cdot \bar{z}=|z{|}^2$。

📌【题干】

Question

（2014年陕西卷(文)） 已知复数 $z=2-\mathrm{i}$，则 $z\cdot \bar{z}$ 的值为()

A. $5$　　　　　　　B. $\sqrt{5}$　　　　　　　C. $3$　　　　　　　D. $\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

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$\bar{z}=2+\mathrm{i}$，$z\cdot \bar{z}=2^2+1^2=5$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

$\bar{z}=2+\mathrm{i}$，所以 $z\cdot \bar{z}=(2-\mathrm{i})(2+\mathrm{i})=2^2+1^2=5$。 也可直接用 $z\cdot \bar{z}=|z{|}^2=|2-\mathrm{i}{|}^2=2^2+(-1{)}^2=5$，故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：共轭复数与复数的模

2. 核心方法：用 $z\cdot \bar{z}=|z{|}^2$ 整体求值

3. 避坑指南：不必写出 $\bar{z}$ 再展开，直接用 $z\cdot \bar{z}=|z{|}^2=2^2+(-1{)}^2=5$；答案是模的平方 $\sqrt{5}$ 不是模，两者极易混选。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 共轭复数的概念与复数模的运算。

2. 结论推广: $z\cdot \bar{z}=|z{|}^2=a^2+b^2$（$z=a+b\mathrm{i}$，$a,b\in \mathbf{R}$）。

3. 方法推广: 遇到 $z\cdot \bar{z}$ 优先用「模的平方」整体处理，避免不必要的展开。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2014-陕西卷理-08 单-四种命题
• 2014-新课标I卷文-03 单-复数的模