2014-陕西卷理-06 单-古典概型

本题导读

本题考查古典概型的计算，解题核心在于准确识别正方形顶点与其中心之间的距离关系，并利用组合公式计算样本空间。

📌【题干】

Question

（2014年陕西卷(理)） 从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中，任取 2 个点，则这 2 个点的距离不小于该正方形边长的概率为()

A. $\frac{1}{5}$　　　　　　　B. $\frac{2}{5}$　　　　　　　C. $\frac{3}{5}$　　　　　　　D. $\frac{4}{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定总基本事件数：从 5 个点中任取 2 个点，基本事件总数为 $C_5^2$。
2. 分析点间距离：设正方形边长为 $a$。
   • 顶点与邻顶点的距离为 $a$（不小于 $a$）。
   • 顶点与对角顶点的距离为 $\sqrt{2}a$（不小于 $a$）。
   • 顶点与中心点的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}a$（小于 $a$）。
3. 确定目标事件数：找出距离 $\ge a$ 的连线数量。这等价于排除掉所有包含“中心点”且另一端点为“顶点”的连线。
4. 计算概率：利用古典概型公式 $P=\frac{m}{n}$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算样本空间总量 从正方形的 4 个顶点和 1 个中心点（共 5 个点）中任取 2 个点，所有可能的取法共有： $n=C_5^2=\frac{5\times 4}{2\times 1}=10\text{ 种}$

第二步：分析距离关系 设正方形为 $ABCD$，中心为 $O$，边长为 $a$。 连线的距离情况分类如下：

1. 顶点与顶点之间（共 $C_4^2=6$ 条）：
   • 边（$AB,BC,CD,DA$）：距离为 $a$。
   • 对角线（$AC,BD$）：距离为 $\sqrt{2}a$。 这 6 条线段的距离均满足“不小于边长 $a$”。
2. 顶点与中心之间（共 $C_4^1=4$ 条）：
   • 线段 $OA,OB,OC,OD$：距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}a\approx 0.707a$。 这 4 条线段的距离均小于边长 $a$。

第三步：计算目标概率 符合题意（距离不小于边长）的基本事件数为 $m=6$。 则所求概率为： $P=\frac{m}{n}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：古典概型的定义。必须确保分母（总数）和分子（符合条件的数）的计数逻辑一致。

2. 核心方法：几何分析法。在概率题中引入几何图形时，先标出所有可能的边长关系，再进行分类计数。

3. 避坑指南：不要漏掉对角线。对角线长 $\sqrt{2}a>a$，也是符合要求的。同时，中心到顶点的距离 $\frac{\sqrt{2}}{2}a$ 约等于 $0.7a$，这是唯一的“坑点”。 

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 正方形的几何常数、组合数的性质。

2. 结论推广: 若改为“距离大于边长”，则只有对角线符合，概率为 $2/10=1/5$。

3. 方法推广: 涉及离散点集之间的距离概率问题，通常先确定所有可能的距离数值，再统计频数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合
• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷文-04 单-古典概型
• 2015-广东卷文-07 单-古典概型
• 2015-山东卷文-16 解-古典概型