2015-山东卷理-10 单-分段函数

本题导读

考查分段函数的复合函数方程的求解，需要对自变量的取值范围进行严密的分类讨论。

📌【题干】

Question

（2015年山东卷(理)） 设函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}3x-1,& x<1,\\ 2^x,& x\ge 1,\end{array}$ 则满足 $f(f(a))=2^{f(a)}$ 的 $a$ 取值范围是 ()

A. $\left[\frac{2}{3},1\right]$　　　　B. $[0,1]$　　　　C. $\left[\frac{2}{3},+\infty \right)$　　　　D. $[1,+\infty )$

🔍【思路分析】

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1. 令 $t=f(a)$，原方程转化为 $f(t)=2^t$。
2. 结合分段函数的解析式，分 $t<1$ 和 $t\ge 1$ 两种情况解出 $t$ 的取值范围，进而求出对应的 $a$ 的范围。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

令 $t=f(a)$，则原方程化为 $f(t)=2^t$。 当 $t<1$ 时，$f(t)=3t-1$，方程变为 $3t-1=2^t$。 通过观察和试验，当 $t=1$ 时两边相等（但此处 $t<1$，需分析函数 $g(t)=2^t-3t+1$ 在 $(-\infty ,1)$ 上的符号）。 实际上，当 $t<1$ 时，$2^t<2^1=2$，而 $3t-1$ 的取值范围需满足 $f(t)=2^t>0$（易知成立）。 更简便的方法是直接分析 $f(t)=2^t$ 的值域：因为对于任意 $t$，$f(t)=2^t>0$。 若 $t\ge 1$，则 $f(t)=2^t$，方程 $2^t=2^t$ 恒成立，此时 $t\ge 1$ 均满足解集。 因此必须满足 $f(a)=t\ge 1$。 接下来解不等式 $f(a)\ge 1$： ① 当 $a<1$ 时，$f(a)=3a-1\ge 1⟹3a\ge 2⟹a\ge \frac{2}{3}$。 故此时 $\frac{2}{3}\le a<1$。 ② 当 $a\ge 1$ 时，$f(a)=2^a\ge 2^1=2\ge 1$，恒成立，故 $a\ge 1$。 综上所述，$a$ 的取值范围是 $\left[\frac{2}{3},+\infty \right)$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段函数、复合函数方程。
2. 核心方法：换元法与逆向推导。
3. 避坑指南：注意 $2^t>0$，且分段函数在不同区间的解析式代入不能混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考函数与导数压轴选择题的常见类型。
2. 结论推广: 复合函数求参数范围问题通常采用由外向内或换元转化。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

C

类题演练(Links)

• 2014-山东卷理-02 单-集合交集
• 2014-山东卷理-03 单-函数定义域
• 2014-山东卷理-08 单-绝对值函数