2015-广东卷文-10 单-计数原理

本题导读

E 中元素由 $s$ 决定：$s$ 取 $1,2,3,4$ 时 $p,q,r$ 各有 $s$ 种选择；F 中是两组独立的”有序选取”，各 ${\mathrm{C}}_5^2$ 种。

📌【题干】

Question

（2015年广东卷(文)） 若集合 $E=\{(p,q,r,s)\mid 0⩽p<s⩽4,0⩽q<s⩽4,0⩽r<s⩽4$ 且 $p,q,r,s\in \mathbf{N}\}$，$F=\{(t,u,v,w)\mid 0⩽t<u⩽4,0⩽v<w⩽4$ 且 $t,u,v,w\in \mathbf{N}\}$，用 $\mathrm{card}(X)$ 表示集合 $X$ 中元素个数，则 $\mathrm{card}(E)+\mathrm{card}(F)=$ ()

A. $200$　　　　　　B. $150$　　　　　　C. $100$　　　　　　D. $50$

🔍【思路分析】

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E 中元素由 $s$ 决定：$s$ 取 $1,2,3,4$ 时 $p,q,r$ 各有 $s$ 种选择；F 中是两组独立的”有序选取”，各 ${\mathrm{C}}_5^2$ 种。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

求 $\mathrm{card}(E)$：由 $0⩽p<s⩽4$ 且 $p\in \mathbf{N}$ 知 $s\in \{1,2,3,4\}$。

当 $s=1$ 时 $p,q,r$ 各有 1 种（均取 0），共 $1^3=1$；同理 $s=2,3,4$ 时各有 $2^3,3^3,4^3$ 组。

$\mathrm{card}(E)=1^3+2^3+3^3+4^3=1+8+27+64=100$。

求 $\mathrm{card}(F)$：$0⩽t<u⩽4$，即从 $\{0,1,2,3,4\}$ 中选两个不同数、小的作 $t$，共 ${\mathrm{C}}_5^2=10$ 组；同理 $(v,w)$ 有 $10$ 组，两者独立。

$\mathrm{card}(F)=10\times 10=100$。

故 $\mathrm{card}(E)+\mathrm{card}(F)=200$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分类加法与分步乘法计数原理；组合数

核心方法：“锚定最大元 $s$ 分类”与”有序对即组合”

避坑指南：（1）$s$ 不能取 0（否则 $p<s⩽0$ 无自然数解），$s\in \{1,2,3,4\}$；（2）$t<u$ 意味着 $(t,u)$ 是无序选取的编号写法，计数用 ${\mathrm{C}}_5^2$ 而不是 ${\mathrm{A}}_5^2$；（3）$F$ 中 $(t,u)$ 与 $(v,w)$ 相互独立，分步相乘。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：以四元数对集合为外衣的计数题（2015 广东卷选择题压轴），核心是”约束拆解 + 分类分步”，是排列组合与集合语言的结合。

结论推广：推广：若上界改 $n$，则 $\mathrm{card}(E)={\sum }_{s=1}^n{s}^3={\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]}^2$，$\mathrm{card}(F)={\left({\mathrm{C}}_{n+1}^2\right)}^2$。本题 $n=4$：${\left(10\right)}^2+{\left(10\right)}^2=200$。

方法推广：新定义计数题的通法：把集合条件翻译成”谁能取什么值”，锚定一个变量分类，其余变量按独立计数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合
• 22.02 排列组合 16 种核心解题模型与策略

类题演练(Links)

• 2015-广东卷理-4
• 2015-广东卷理-13 填-排列数
• 2014-广东卷理-11 填-古典概型