2015-广东卷文-14 填-极坐标参数方程

本题导读

C₁ 化成直角坐标直线 $x+y=-2$；C₂ 是抛物线 $y^2=8x$（$x⩾0$）。

📌【题干】

Question

（2015年广东卷(文)） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，以原点 $O$ 为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线 $C_1$ 的极坐标方程为 $\rho (\cos \theta +\sin \theta )=-2$，曲线 $C_2$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=t^2,\\ y=2\sqrt{2}t\end{array}$（$t$ 为参数），则 $C_1$ 与 $C_2$ 交点的直角坐标为$\underline{}$

🔍【思路分析】

破题导航

C₁ 化成直角坐标直线 $x+y=-2$；C₂ 是抛物线 $y^2=8x$（$x⩾0$）。联立解出 $t$，代回得交点。

✅【答案】

点击查看答案

$(2,-4)$

✍【详细解析】

Abstract

化 $C_1$：$\rho \cos \theta =x$，$\rho \sin \theta =y$，故 $x+y=-2$。

化 $C_2$：$t^2=x$，$(2\sqrt{2}t{)}^2=y^2\Rightarrow 8x=y^2$，即 $y^2=8x$。

联立：把 $x=t^2$，$y=2\sqrt{2}t$ 代入 $x+y=-2$：

$t^2+2\sqrt{2}t+2=0\Rightarrow (t+\sqrt{2}{)}^2=0$，$t=-\sqrt{2}$（重根，直线与抛物线相切）。

故 $x=t^2=2$，$y=2\sqrt{2}\times (-\sqrt{2})=-4$，交点为 $(2,-4)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：极坐标与直角坐标互化；参数方程与普通方程互化

核心方法：$\rho \cos \theta =x$、$\rho \sin \theta =y$；参数代回消元

避坑指南：（1）$\rho (\cos \theta +\sin \theta )=-2$ 中 $\rho$ 是公因子，直接拆成 $x+y=-2$，别漏负号；（2）判别式为 0 说明相切、交点唯一——重根不是”无解”；（3）$y=2\sqrt{2}\times (-\sqrt{2})=-4$，符号别错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：坐标系与参数方程是广东卷填空选做（14/15 二选一）的常驻内容，本题”直线 + 抛物线相切”的设计干净利落。

结论推广：若 $C_1$ 改为 $\rho (\cos \theta -\sin \theta )=2$（即 $x-y=2$），代入得 $t^2-2\sqrt{2}t-2=0$，$\Delta >0$ 有两交点——判别式符号决定交点个数。

方法推广：参数方程与直线联立的标准动作：把 $x(t),y(t)$ 直接代入直线方程解 $t$，比先化普通方程再联立少一次消元。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练(Links)

• 2015-广东卷理-14 填-极坐标
• 2014-广东卷理-14 填-极坐标互化
• 2013年广东卷理-14