2015-广东卷文-15 填-圆的切线

本题导读

先用切割线定理 $E{C}^2=EB\cdot EA$ 求 $EB$，再在 $\mathrm{Rt}△OCE$ 中求 $\angle OEC$，最后在 $\mathrm{Rt}△ADE$ 中求 $AD$。

📌【题干】

Question

（2015年广东卷(文)） 如图，$AB$ 为圆 $O$ 的直径，$E$ 为 $AB$ 延长线上一点，过 $E$ 作圆 $O$ 的切线，切点为 $C$，过 $A$ 作直线 $EC$ 的垂线，垂足为 $D$．若 $AB=4$，$CE=2\sqrt{3}$，则 $AD=$ $\underline{}$

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先用切割线定理 $E{C}^2=EB\cdot EA$ 求 $EB$，再在 $\mathrm{Rt}△OCE$ 中求 $\angle OEC$，最后在 $\mathrm{Rt}△ADE$ 中求 $AD$。

✅【答案】

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$3$

✍【详细解析】

Abstract

求 $EB$：由切割线定理 $E{C}^2=EB\cdot EA$，即 $12=EB(EB+4)$，

$E{B}^2+4EB-12=0$，$EB=2$（舍负）。于是 $EA=6$，$OE=OB+BE=4$。

求角：连 $OC$，则 $OC\perp EC$，$OC=2$。在 $\mathrm{Rt}△OCE$ 中，$\sin \angle OEC=\frac{OC}{OE}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，故 $\angle OEC=30^{\circ }$，即 $\angle AED=30^{\circ }$。

求 $AD$：在 $\mathrm{Rt}△ADE$ 中（$AD\perp EC$），

$AD=EA\cdot \sin 30^{\circ }=6\times \frac{1}{2}=3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：切割线定理；圆的切线性质；解直角三角形

核心方法：“切线长 → 割线段”再”特殊角 → 直角三角形”

避坑指南：（1）$EA=EB+BA=2+4=6$，是整条割线长，别只用 $EB$；（2）$\angle AED$ 就是 $\angle OEC$（同一条线 $EC$ 与 $AB$ 所夹），大小 $30^{\circ }$；（3）$△ADE$ 是直角三角形的依据是 $AD\perp EC$（垂足 $D$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：几何证明选讲（广东卷 14/15 选做之一）的经典配置：切割线定理 + 直角三角形，链条短而巧。

结论推广：本题还可由 $△ECD\sim △EAD$ 或用 $△OCE$ 全等信息求 $CD$：$CE\cdot ED=EA\cdot$？更直接的推广：$AD=\frac{EA\cdot OC}{OE}=\frac{6\times 2}{4}=3$，即”割线长 × 半径 ÷ 圆心距”。

方法推广：圆中切线问题的”三件套”：切割线定理、$OC\perp EC$、弦切角——组合使用几乎覆盖所有平面几何选讲填空。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

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• 17.07 圆幂定理

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