2015-广东卷文-17 解-频率分布直方图

本题导读

(1) 各组频率之和为 1。

📌【题干】

Question

（2015年广东卷(文)） 某城市 100 户居民的月平均用电量（单位：度），以 $[160,180)$，$[180,200)$，$[200,220)$，$[220,240)$，$[240,260)$，$[260,280)$，$[280,300]$ 分组的频率分布直方图如图．

(1) 求直方图中 $x$ 的值；

(2) 求月平均用电量的众数和中位数；

(3) 在月平均用电量为 $[220,240)$，$[240,260)$，$[260,280)$，$[280,300]$ 的四组用户中，用分层抽样的方法抽取 11 户居民，则月平均用电量在 $[220,240)$ 的用户中应抽取多少户？

🔍【思路分析】

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(1) 各组频率之和为 1。（2）众数 = 最高矩形的中点；中位数 = 累计频率达 0.5 的位置。（3）分层抽样按各组户数比例分配。

✅【答案】

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(1) $x=0.0075$

(2) 众数 $230$，中位数 $224$

(3) $5$ 户

✍【详细解析】

Abstract

（1） 各组频率 = 纵坐标 × 组距 20。

已知组频率：$0.002\times 20=0.04$，$0.0095\times 20=0.19$，$0.011\times 20=0.22$，$0.0125\times 20=0.25$，$0.005\times 20=0.10$，$0.0025\times 20=0.05$。

由频率和为 1：$x\times 20=1-(0.04+0.19+0.22+0.25+0.10+0.05)=0.15$，故 $x=0.0075$。

（2） 众数：最高矩形属于 $[220,240)$，其中点为 $\frac{220+240}{2}=230$。

中位数：前三组累计频率 $0.04+0.19+0.22=0.45<0.5$，加上 $[220,240)$ 的 $0.25$ 得 $0.70>0.5$，故中位数在 $[220,240)$ 内：$220+\frac{0.5-0.45}{0.25}\times 20=220+4=224$。

（3） 四组 $[220,240)$，$[240,260)$，$[260,280)$，$[280,300]$ 的频率依次为 $0.25$，$0.10$，$0.05$，$0.04$，合计 $0.44$？——不对，应为四组户数合计 $25+10+5+4=44$？注意题给抽取总数 11 户来自四组：四组户数 $=100\times (0.25+0.15+0.10+0.05)=55$？

重新核径：$[240,260)$ 频率是 $x\times 20=0.15$（即 $x=0.0075$ 的那组！），$[260,280)$ 频率 $0.10$，$[280,300]$ 频率 $0.05$。

四组 $[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]$ 的频率依次为 $0.25,0.15,0.10,0.05$，合计 $0.55$，共 $55$ 户。

分层抽样抽 11 户，抽样比 $\frac{11}{55}=\frac{1}{5}$，故 $[220,240)$ 组抽 $25\times \frac{1}{5}=5$ 户。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：频率分布直方图（频率 = 纵坐标×组距）；众数、中位数；分层抽样

核心方法：“频率和为 1” 定参数；累计频率定中位数；比例分配定抽样

避坑指南：（1）$x$ 对应的组是 $[240,260)$ 而非 $[220,240)$——纵轴标签从上到下与矩形从高到低对应，看图要结合横轴位置；（2）中位数公式 $L+\frac{0.5-F_{\text{前}}}{f}\times$ 组距，分母是该组频率不是纵坐标；（3）分层抽样的抽样比 $=\frac{\text{样本量}}{\text{总体容量}}$，先算四组总户数。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：频率分布直方图是统计大题的常青树，2015 广东卷三连问覆盖”参数—数字特征—抽样”完整链条。

结论推广：若追问第 3 问改为在全部 7 组中抽 22 户，则抽样比 $\frac{22}{100}$，$[220,240)$ 组抽 $25\times \frac{22}{100}=5.5$？——户数须为整数，说明抽样总数设计成 11（对 55 户）正是为了整除，命题的巧思所在。

方法推广：直方图三问的通用顺序：先补频率表（每行”纵坐标 × 组距”），一切后续问题都在频率表上完成。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 14.03 频率分布直方图中的数据计算
• 14.02 百分位数与四分位数

类题演练(Links)

• 2014-广东卷理-17 解-频数、频率计算
• 2010-广东卷理-17
• 2019-全国卷III文-17 解-频率分布直方图