2015-新课标I卷文-08 单-三角函数图象

本题导读

识图定式：相邻零点 $\frac{1}{4}$ 与 $\frac{5}{4}$ 相距 $\frac{T}{2}=1$，得 $\omega =\pi$；由 $x=\frac{1}{4}$ 处下穿零轴定 $\phi =\frac{\pi }{4}$；最后整体代换求减区间。

📌【题干】

Question

（2015年新课标I卷(文)） 函数 $f(x)=\cos (\omega x+\phi )$ 的部分图象如图所示，则 $f(x)$ 的单调递减区间为 ()

A. $\left(k\pi -\frac{1}{4},k\pi +\frac{3}{4}\right)$，$k\in \mathbf{Z}$　　　　　　　　　　B. $\left(2k\pi -\frac{1}{4},2k\pi +\frac{3}{4}\right)$，$k\in \mathbf{Z}$

C. $\left(k-\frac{1}{4},k+\frac{3}{4}\right)$，$k\in \mathbf{Z}$　　　　　　　　　　D. $\left(2k-\frac{1}{4},2k+\frac{3}{4}\right)$，$k\in \mathbf{Z}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 图象过 $(\frac{1}{4},0)$（下降）与 $(\frac{5}{4},0)$（上升），相距半个周期：$\frac{T}{2}=1\Rightarrow T=2\Rightarrow \omega =\pi$。
2. $f\left(\frac{1}{4}\right)=0$ 且此处递减 $\Rightarrow \frac{\pi }{4}+\phi =\frac{\pi }{2}\Rightarrow \phi =\frac{\pi }{4}$。
3. $\cos$ 的减区间：$2k\pi ⩽\pi x+\frac{\pi }{4}⩽2k\pi +\pi$。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

由图象，$f(x)$ 在 $x=\frac{1}{4}$ 处下降穿过 $x$ 轴，在 $x=\frac{5}{4}$ 处上升穿过 $x$ 轴，两零点相距半个周期：

$\frac{T}{2}=\frac{5}{4}-\frac{1}{4}=1⟹T=2,\omega =\frac{2\pi }{T}=\pi .$

又 $f\left(\frac{1}{4}\right)=0$ 且该处单调递减，故 $\frac{\pi }{4}+\phi =\frac{\pi }{2}+2k\pi$，取 $\phi =\frac{\pi }{4}$，得 $f(x)=\cos \left(\pi x+\frac{\pi }{4}\right)$.

由 $2k\pi <\pi x+\frac{\pi }{4}<2k\pi +\pi$，解得

$2k-\frac{1}{4}<x<2k+\frac{3}{4},k\in \mathbf{Z},$

即单调递减区间为 $\left(2k-\frac{1}{4},2k+\frac{3}{4}\right)$，选 D.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：余弦型函数的图象与性质；由图象确定 $\omega ,\phi$；单调区间的整体代换求法。

2. 核心方法：“零点距离定周期 → 下降/上升定 $\phi$ → 整体代换定区间”。

3. 避坑指南：① $\cos$ 的递减区间是 $[2k\pi ,(2k+1)\pi ]$，套成 $[2k\pi -\pi ,2k\pi ]$（那是递增段）就错；② 解出的区间端点形式要与选项一致，$\omega =\pi$ 已并入 $x$，选项里不该再出现 $\pi$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：“识图定 $\omega ,\phi$“是三角小题的主力题型；本题与 2015 年新课标Ⅰ理第 8 题几乎同题（理科给正弦型，文科给余弦型）。

2. 结论推广: 若图中给出最高点 $\left(x_0,1\right)$ 而非零点，则用 $\omega x_0+\phi =2k\pi$ 定相位，方法不变。

3. 方法推广: 三角识图题通用流程：① 由相邻同类点距离定 $T,\omega$；② 代特殊点定 $\phi$（注意升降定 $2k\pi$ 的取舍）；③ 写 $A\sin /$ $\cos$ 标准式后再研究性质。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷理-8