2015-新课标II卷文-20 解-椭圆

本题导读

解析几何”求方程 + 证定值”。第（1）问常规；第（2）问是经典的”中点弦”结构——把中点坐标写出来，两个斜率一乘，参数自然消掉。

📌【题干】

Question

（2015年新课标II卷(文)） 已知椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，点 $(2,\sqrt{2})$ 在 $C$ 上.

(1) 求 $C$ 的方程；

(2) 直线 $l$ 不经过原点 $O$，且不平行于坐标轴，$l$ 与 $C$ 有两个交点 $A,B$，线段 $AB$ 中点为 $M$，证明：直线 $OM$ 的斜率与直线 $l$ 的斜率乘积为定值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. （1）由离心率得 $b^2$ 与 $a^2$ 的关系，再把已知点代入，解出 $a^2,b^2$。
2. （2）设 $l:y=kx+m$（$k\ne 0$，$m\ne 0$），与椭圆联立得一元二次方程。
3. 用韦达定理写出 $x_1+x_2$ 与 $y_1+y_2$，得到中点 $M$ 坐标。
4. 算出 $k_{OM}$，再与 $k$ 相乘，验证 $km$ 被消掉。

✅【答案】

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(1) $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$

(2) 直线 $OM$ 的斜率与直线 $l$ 的斜率乘积为定值 $-\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 由离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 得 $c^2=\frac{a^2}{2}$，于是

$b^2=a^2-c^2=a^2-\frac{a^2}{2}=\frac{a^2}{2}.$

把点 $(2,\sqrt{2})$ 代入椭圆方程：

$\frac{4}{a^2}+\frac{2}{b^2}=1.$

由 $b^2=\frac{a^2}{2}$ 得 $\frac{2}{b^2}=\frac{4}{a^2}$，代入上式：

$\frac{4}{a^2}+\frac{4}{a^2}=1⟹\frac{8}{a^2}=1⟹a^2=8,b^2=4.$

故 $C$ 的方程为

$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1.$

（2） 设 $l:y=kx+m$，其中 $k\ne 0$（不平行于坐标轴）、$m\ne 0$（不过原点）。

代入椭圆方程 $x^2+2y^2=8$：

$x^2+2(kx+m{)}^2=8⟹(1+2k^2)x^2+4kmx+2m^2-8=0.$

由韦达定理：

$x_1+x_2=\frac{-4km}{1+2k^2}.$

又

$y_1+y_2=k(x_1+x_2)+2m=\frac{-4k^{2}m}{1+2k^2}+2m=\frac{2m}{1+2k^2}.$

所以线段 $AB$ 的中点

$M\left(\frac{-2km}{1+2k^2},\frac{m}{1+2k^2}\right).$

于是直线 $OM$ 的斜率为

$k_{OM}=\frac{\frac{m}{1+2k^2}}{\frac{-2km}{1+2k^2}}=\frac{m}{-2km}=-\frac{1}{2k}.$

故

$k_{OM}\cdot k=\left(-\frac{1}{2k}\right)\cdot k=-\frac{1}{2},$

与 $k,m$ 的取值无关，为定值 $-\frac{1}{2}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆标准方程的求法；直线与椭圆的位置关系；弦中点与点差法；斜率的定值问题。

2. 核心方法：“中点弦”问题的两条通道：① 联立 + 韦达定理（写出中点坐标）；② 点差法（两根所在方程相减，直接得 $k_{OM}\cdot k$ 的表达式）。本题用任一条都能收口。

3. 避坑指南：① 题目条件”$l$ 不经过原点且不平行于坐标轴”是保证 $k\ne 0$ 且 $m\ne 0$ 的前提，若 $k=0$ 或 $m=0$，中点可能落在坐标轴上、斜率不存在，讨论会失效；② 算 $k_{OM}$ 时别把中点坐标的横纵写反。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：“求椭圆方程 + 证明斜率乘积为定值”是新课标Ⅱ卷解析几何解答题的标准结构，2014、2015 年连续考椭圆，2021 年全国甲卷文第 20 题亦为同型。

2. 结论推广: 一般地，对椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，若弦 $AB$ 的中点为 $M$，则 $k_{AB}\cdot k_{OM}=-\frac{b^2}{a^2}$（点差法的标准结论）；本题 $\frac{b^2}{a^2}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，故乘积为 $-\frac{1}{2}$，与计算结果一致。双曲线情形结论为 $+\frac{b^2}{a^2}$，符号相反需注意。

3. 方法推广: 解析几何大题的两段式打法：① 求方程阶段——把”离心率、渐近线、过点”等条件逐一翻译成关于 $a,b,c$ 的方程并联立；② 证明阶段——先设直线（$y=kx+m$），再联立、韦达，最后把待证量写成 $k,m$ 的表达式并化简掉参数。“设线 $\to$ 联立 $\to$ 韦达 $\to$ 化简”是通用模板。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2015-新课标II卷理-20 解-椭圆性质
• 2014-新课标II卷理-20 解-椭圆定义