2017-全国卷II文-12 单-抛物线

本题导读

考查抛物线焦点、准线、直线方程及点到直线距离公式的综合应用，属于解析几何中档题。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷II(文)） 过抛物线 $C:y^2=4x$ 的焦点 $F$，且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线交 $C$ 于点 $M$（$M$ 在 $x$ 轴上方），$l$ 为 $C$ 的准线，点 $N$ 在 $l$ 上，且 $MN\perp l$，则 $M$ 到直线 $NF$ 的距离为 ()

A. $\sqrt{5}$　　　　　　　B. $2\sqrt{2}$　　　　　　　C. $2\sqrt{3}$　　　　　　　D. $3\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

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1. 由抛物线 $y^2=4x$ 得焦点 $F(1,0)$，准线 $l:x=-1$。
2. 写出过焦点 $F$ 且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线方程，与抛物线联立求出在 $x$ 轴上方的点 $M$ 的坐标。
3. 根据 $MN\perp l$ 确定点 $N$ 的坐标，进而求出直线 $NF$ 的方程，最后利用点到直线距离公式计算 $M$ 到 $NF$ 的距离。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

抛物线 $y^2=4x$ 的焦点 $F(1,0)$，准线 $l:x=-1$。 过焦点 $F(1,0)$ 且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线方程为： $y=\sqrt{3}(x-1)$. 与 $y^2=4x$ 联立消去 $y$： $[\sqrt{3}(x-1){]}^2=4x⟹3(x^2-2x+1)=4x⟹3x^2-10x+3=0$. 解得 $(3x-1)(x-3)=0⟹x=\frac{1}{3}$ 或 $x=3$. 因为点 $M$ 在 $x$ 轴上方（$y>0$），取 $x=3$，代入得 $y=\sqrt{3}(3-1)=2\sqrt{3}$，即 $M(3,2\sqrt{3})$。 因为 $MN\perp l$ 且 $l:x=-1$，点 $N$ 在准线 $l$ 上，所以点 $N$ 的横坐标为 $-1$，纵坐标与点 $M$ 相同，即 $N(-1,2\sqrt{3})$。 求过点 $N(-1,2\sqrt{3})$ 和 $F(1,0)$ 的直线 $NF$ 的方程： 斜率 $k_{NF}=\frac{0-2\sqrt{3}}{1-(-1)}=\frac{-2\sqrt{3}}{2}=-\sqrt{3}$。 直线 $NF$ 的点斜式方程为：$y-0=-\sqrt{3}(x-1)⟹\sqrt{3}x+y-\sqrt{3}=0$. 最后计算点 $M(3,2\sqrt{3})$ 到直线 $\sqrt{3}x+y-\sqrt{3}=0$ 的距离 $d$： $d=\frac{|\sqrt{3}(3)+2\sqrt{3}-\sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+1^2}}=\frac{|3\sqrt{3}+2\sqrt{3}-\sqrt{3}|}{\sqrt{4}}=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$. 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线性质、直线方程、点到直线距离。
2. 核心方法：坐标代数法。
3. 避坑指南：由横坐标解出两个交点时，必须根据条件“$M$ 在 $x$ 轴上方”正确选取纵坐标为正的交点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考圆锥曲线常考综合题。
2. 结论推广: 抛物线上点到准线的距离等于该点到焦点的距离（抛物线定义），本题可灵活利用几何定义简化部分计算。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2014-湖南卷文-14 填-抛物线
• 2014-福建卷文-21 解-抛物线
• 2023-新高考II卷-10 多-抛物线