2017-全国卷III理-20 解-抛物线

本题导读

本题考查抛物线的标准方程与几何性质。核心在于设而不求法、坐标建模法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷III(理)） 已知抛物线 $C:y^2=2x$，过点 $(2,0)$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A,B$ 两点，圆 $M$ 是以线段 $AB$ 为直径的圆．

(1)证明：坐标原点 $O$ 在圆 $M$ 上；

(2)设圆 $M$ 过点 $P(4,-2)$，求直线 $l$ 与圆 $M$ 的方程．

🔍【思路分析】

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1. 第一问（证明点在圆上）：

• 等价转化：若圆 $M$ 以 $AB$ 为直径，则原点 $O$ 在圆 $M$ 上的充要条件是 $\angle AOB=90^{\circ }$，即 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0$。
• 联立方程：设直线 $l:x=my+2$，代入抛物线方程，得到关于 $y$ 的二次方程，利用韦达定理表达 $y_1{y}_2$ 和 $y_1+y_2$。
• 代数计算：将 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$ 全部转化为关于 $y_1,y_2$ 的表达式并化简。

2. 第二问（求圆方程）：

• 利用性质：点 $P$ 在圆上 $\iff \overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=0$。
• 求解参数：根据向量数量积建立关于 $m$ 的方程，解出 $m$。
• 确定结果：针对不同的 $m$ 值，分别计算 $AB$ 的中点（圆心）和 $O$ 到圆心的距离（半径），写出标准方程。

✅【答案】

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(1) 证明见解析（坐标原点 $O$ 在圆 $M$ 上）

(2) 当 $m=1$：$l:x-y-2=0$，圆 $M:(x-3{)}^2+(y-1{)}^2=10$；当 $m=-\frac{1}{2}$：$l:2x+y-4=0$，圆 $M:{\left(x-\frac{9}{4}\right)}^2+{\left(y+\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{85}{16}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)证明： 由题意，直线 $l$ 不可能斜率为 0（否则只与抛物线有一个交点）。 故设直线 $l:x=my+2$，设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$。 联立方程组： $\{\begin{array}{l}{y}^2=2x\\ x=my+2\end{array}\Rightarrow y^2-2my-4=0$ 由韦达定理得：$y_1+y_2=2m$，$y_1{y}_2=-4$。 计算 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}$： $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=x_1{x}_2+y_1{y}_2=(m{y}_1+2)(m{y}_2+2)+y_1{y}_2$ $=m^2{y}_1{y}_2+2m(y_1+y_2)+4+y_1{y}_2$ $=(m^2+1)y_1{y}_2+2m(y_1+y_2)+4$ 代入韦达定理： $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=(m^2+1)(-4)+2m(2m)+4=-4m^2-4+4m^2+4=0$。 由于 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0$，则 $\angle AOB=90^{\circ }$。 根据直径所对的圆周角为直角，原点 $O$ 在以 $AB$ 为直径的圆 $M$ 上。

(2)解： 若点 $P(4,-2)$ 在圆 $M$ 上，则 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=0$。 $\overrightarrow{PA}=(x_1-4,y_1+2),\overrightarrow{PB}=(x_2-4,y_2+2)$。 $(x_1-4)(x_2-4)+(y_1+2)(y_2+2)=0$ 代入 $x=my+2$： $(m{y}_1-2)(m{y}_2-2)+(y_1+2)(y_2+2)=0$ $m^2{y}_1{y}_2-2m(y_1+y_2)+4+y_1{y}_2+2(y_1+y_2)+4=0$ $(m^2+1)y_1{y}_2-(2m-2)(y_1+y_2)+8=0$ 代入韦达定理 $y_1{y}_2=-4,y_1+y_2=2m$： $(m^2+1)(-4)-(2m-2)(2m)+8=0$ $-4m^2-4-4m^2+4m+8=0\Rightarrow -8m^2+4m+4=0\Rightarrow 2m^2-m-1=0$ 解得 $m=1$ 或 $m=-1/2$。

情况 ①：当 $m=1$ 时 直线 $l:x-y-2=0$。 $y_1+y_2=2,y_1{y}_2=-4$，则 $y_M=\frac{y_1+y_2}{2}=1,x_M=1+2=3$。 圆心 $M(3,1)$。由于原点 $O(0,0)$ 在圆上，半径 $r^2=3^2+1^2=10$。 圆 $M$ 的方程为：$(x-3{)}^2+(y-1{)}^2=10$。

情况 ②：当 $m=-1/2$ 时 直线 $l:x=-1/2y+2$，即 $2x+y-4=0$。 $y_1+y_2=-1,y_1{y}_2=-4$，则 $y_M=-1/2,x_M=-1/2(-1/2)+2=9/4$。 圆心 $M(9/4,-1/2)$。半径 $r^2=(9/4{)}^2+(-1/2{)}^2=81/16+4/16=85/16$。 圆 $M$ 的方程为：$(x-\frac{9}{4}{)}^2+(y+\frac{1}{2}{)}^2=\frac{85}{16}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

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• 设线技巧：在抛物线问题中，设直线为 $x=my+b$ 通常比 $y=kx+b$ 更好用，因为它可以避免对斜率不存在情况的分类讨论，且代入 $y^2=2px$ 后直接得到关于 $y$ 的一元二次方程。
• 几何条件的转化：将“圆过某点”转化为“向量垂直”，是解析几何大题中化简计算的常用策略。
• 圆方程的构成：圆心是直径端点的中点，半径可以直接利用原点在圆上这一结论计算 $OM$ 的距离。

📖【试题探源与推广】

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1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

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• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2014-湖南卷文-14 填-抛物线
• 2014-福建卷文-21 解-抛物线
• 2023-新高考II卷-10 多-抛物线