2018-江苏卷-22 解-异面直线角

本题导读

本题考查立体几何/点、线、面位置关系/异。核心在于空间向量法、建立空间直角坐标系的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年江苏卷）如图，在正三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，$AB=A{A}_1=2$，点 $P,Q$ 分别为 $A_1{B}_1,BC$ 的中点.

(1) 求异面直线 $BP$ 与 $A{C}_1$ 所成角的余弦值；

(2) 求直线 $C{C}_1$ 与平面 $AQ{C}_1$ 所成角的正弦值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立坐标系：底面 $ABC$ 是等边三角形，取 $BC$ 的中点为原点 $O$（即点 $Q$），$BC$ 所在直线为 $x$ 轴，$QA$ 所在直线为 $y$ 轴，过 $Q$ 且平行于 $A{A}_1$ 的直线为 $z$ 轴，建立空间直角坐标系。

2. 确定点坐标：根据棱长 $2$ 和中点性质，写出 $A,B,C,C_1,A_1,B_1,P,Q$ 各点的坐标。

3. 第一问（异面直线角）：写出向量 $\overrightarrow{BP}$ 和 $\overrightarrow{A{C}_1}$，利用夹角公式 $\cos \theta =\frac{|\vec{a}\cdot \vec{b}|}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}$ 计算。

4. 第二问（线面角）：

• 求出平面 $AQ{C}_1$ 的一个法向量 $\vec{n}$。
• 写出直线 $C{C}_1$ 对应的方向向量 $\vec{v}$。
• 线面角的正弦值等于方向向量与法向量夹角余弦值的绝对值，即 $\sin \alpha =|\cos ⟨\vec{v},\vec{n}⟩|$。

✅【答案】

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(1) $\frac{3\sqrt{10}}{20}$

(2) $\frac{\sqrt{5}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

取 $BC$ 的中点为原点 $O$（即点 $Q$），建立空间直角坐标系。由题意得： $Q(0,0,0),B(1,0,0),C(-1,0,0),A(0,\sqrt{3},0)$。 $C_1(-1,0,2),A_1(0,\sqrt{3},2),B_1(1,0,2)$。 由于 $P$ 是 $A_1{B}_1$ 的中点，则由中点坐标公式得： $P(\frac{0+1}{2},\frac{\sqrt{3}+0}{2},\frac{2+2}{2})=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},2)$。

(1)求异面直线 $BP$ 与 $A{C}_1$ 所成角的余弦值 $\overrightarrow{BP}=(\frac{1}{2}-1,\frac{\sqrt{3}}{2}-0,2-0)=(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},2)$； $\overrightarrow{A{C}_1}=(-1-0,0-\sqrt{3},2-0)=(-1,-\sqrt{3},2)$。 则 $\cos ⟨\overrightarrow{BP},\overrightarrow{A{C}_1}⟩=\frac{\overrightarrow{BP}\cdot \overrightarrow{A{C}_1}}{|\overrightarrow{BP}|\cdot |\overrightarrow{A{C}_1}|}=\frac{(-\frac{1}{2})(-1)+(\frac{\sqrt{3}}{2})(-\sqrt{3})+2\times 2}{\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}+4}\cdot \sqrt{1+3+4}}$ $=\frac{\frac{1}{2}-\frac{3}{2}+4}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{8}}=\frac{3}{\sqrt{40}}=\frac{3\sqrt{10}}{20}$ 故异面直线 $BP$ 与 $A{C}_1$ 所成角的余弦值为 $\frac{3\sqrt{10}}{20}$。

(2)求直线 $C{C}_1$ 与平面 $AQ{C}_1$ 所成角的正弦值 $\overrightarrow{QA}=(0,\sqrt{3},0)$，$\overrightarrow{Q{C}_1}=(-1,0,2)$。 设平面 $AQ{C}_1$ 的法向量为 $\vec{n}=(x,y,z)$，则： $\{\begin{array}{l}\vec{n}\cdot \overrightarrow{QA}=\sqrt{3}y=0⟹y=0\\ \vec{n}\cdot \overrightarrow{Q{C}_1}=-x+2z=0⟹x=2z\end{array}$ 取 $z=1$，得 $\vec{n}=(2,0,1)$。 又 $\overrightarrow{C{C}_1}=(0,0,2)$。 设置直线 $C{C}_1$ 与平面 $AQ{C}_1$ 所成的角为 $\alpha$，则： $\sin \alpha =|\cos ⟨\overrightarrow{C{C}_1},\vec{n}⟩|=\frac{|0\times 2+0\times 0+2\times 1|}{|\overrightarrow{C{C}_1}|\cdot |\vec{n}|}=\frac{2}{2\times \sqrt{4+0+1}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$ 故直线 $C{C}_1$ 与平面 $AQ{C}_1$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$。

💡 【考点总结与回顾】

• 核心技巧：在涉及正三棱柱的题目中，利用底面等边三角形的对称性（中垂线）建立坐标系是最稳妥的方法。
• 避坑指南：第一问求的是异面直线所成的角，向量夹角若为负值需取绝对值（本题计算结果为正）；第二问线面角公式是 $\sin \alpha =|\cos ⟨\vec{n},\vec{v}⟩|$，切记不要记混正余弦关系。
• 计算检查：注意 $P$ 点作为线段中点，坐标计算需要准确，这是后续所有向量运算的基础。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：待补

2. 核心方法：待补

3. 避坑指南：待补

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法推广：如果没有建立坐标系，第一问可以利用平移法将 $BP$ 平移至与 $A{C}_1$ 相交；第二问可利用等体积法（$V_{C-AQ{C}_1}=V_{A-CQ{C}_1}$）求出点 $C$ 到平面 $AQ{C}_1$ 的距离 $d$，再利用 $\sin \alpha =d/|C{C}_1|$ 求解。
• 相关知识点：正三棱柱的性质、空间向量数量积、平面法向量、线面角定义。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-20 解-线面平行
• 2012-天津卷文-17 解-四棱锥线面角
• 2014-江西卷理-20 解-空间垂直判定