2022-新高考II卷-12 多-不等式最值

本题导读

本题考查多元不等式与最值，以及二次型与圆锥曲线范围。

📌【题干】

Question

（2022年新高考II卷） 若 $x,y$ 满足 $x^2+y^2-xy=1$，则()

A. $x+y⩽1$　　B. $x+y⩾-2$　　C. $x^2+y^2⩽2$　　D. $x^2+y^2⩾1$

🔍【思路分析】

破题导航

本题提供了二元二次等式约束，要求判定一次多项式（$x+y$）和二次多项式（$x^2+y^2$）的范围。

• 路径一（代数放缩）：直接利用基本不等式 $xy⩽(\frac{x+y}{2}{)}^2$ 以及 $xy⩽\frac{x^2+y^2}{2}$（含负号放缩），将对称式进行整体界定。
• 路径二（三角换元）：将原等式配方为 $(x-\frac{y}{2}{)}^2+(\frac{\sqrt{3}}{2}y{)}^2=1$，利用 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 引入参数 $\theta$，将二元极值转化为单一变量的三角函数求最值。
• 路径三（极坐标法）：针对二次多项式 $x^2+y^2$（即极径的平方），代入 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$ 能实现快速求解。
• 路径四（数形结合）：识别出 $x^2+y^2-xy=1$ 在坐标系中是一个斜椭圆，通过画出椭圆草图与对应直线/圆的位置关系进行判定。

✅【答案】

点击查看答案

BCD（$x^2+y^2\in \left[\frac{2}{3},2\right]$）

✍【详细解析】

Abstract

1. 判定 $x+y$ 的范围（判定 A、B）：

解法一：三角换元法

原等式可配方为：$(x-\frac{y}{2}{)}^2+(\frac{\sqrt{3}}{2}y{)}^2=1$．

进行三角代换，令：

$\{\begin{array}{l}x-\frac{y}{2}=\cos \theta \\ \frac{\sqrt{3}}{2}y=\sin \theta \end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}y=\frac{2\sqrt{3}}{3}\sin \theta \\ x=\cos \theta +\frac{\sqrt{3}}{3}\sin \theta \end{array}$．

则 $x+y=\cos \theta +\sqrt{3}\sin \theta =2\sin (\theta +\frac{\pi }{6})$．

因为 $\sin (\theta +\frac{\pi }{6})\in [-1,1]$，所以 $x+y\in [-2,2]$．

• 对于 A 项：$x+y$ 最大值为 $2$，不满足 $⩽1$，故 A 错误；

• 对于 B 项：$x+y$ 最小值为 $-2$，满足 $⩾-2$ 恒成立，故 B 正确．

2. 判定 $x^2+y^2$ 的范围（判定 C、D）：

解法二：代数变形与不等式法

由已知 $x^2+y^2-xy=1$ 得 $x^2+y^2=1+xy$．

• 寻找上限：

  由基本不等式 $xy⩽\frac{x^2+y^2}{2}$，代入原式：

  $1=x^2+y^2-xy⩾x^2+y^2-\frac{x^2+y^2}{2}=\frac{x^2+y^2}{2}$．

  解得 $x^2+y^2⩽2$（当且仅当 $x=y=\pm 1$ 时取等）．

  故 C 正确．

• 寻找下限：

  由基本不等式 $xy⩾-\frac{x^2+y^2}{2}$，代入原式：

  $1=x^2+y^2-xy⩽x^2+y^2+\frac{x^2+y^2}{2}=\frac{3}{2}(x^2+y^2)$．

  解得 $x^2+y^2⩾\frac{2}{3}$（当且仅当 $x=-y=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ 时取等）．

  由于最小值 $\frac{2}{3}<1$，故 $x^2+y^2⩾1$ 并非恒成立，故 D 错误．

3. 结论：

正确选项为 BC． 【解法二】画出$x^2+y^2-xy=1$图像，由解析式分析出函数关于$y=x$对称， 图像过$\left(1,0\right),\left(0,1\right),\left(1,1\right),\left(-1,-1\right)$， 猜测解析式所对应的图像是关于$y=x$对称的椭圆.画出图像.

对于A选项，画出$x+y=1$直线的左下方是$x+y<1$， 直线的右上方满足$x+y>1$，椭圆有一部分在直线的左下方，有一部分在直线的右下方，因此A选项错误； 对于B选项，画出$x+y=-2$，直线的左下方是$x+y<-2$，直线的右上方满足$x+y>-2$，椭圆全部在直线的右上方，因此B选项正确；

对于C选项，画出$x^2+y^2=2$，此曲线是以原点为圆心$\sqrt{2}$为 半径的圆，$x^2+y^2\le 2$表示圆的内部和圆上的点，通过画图 发现曲线$x^2+y^2-xy=1$上的点全部在圆的内部或在圆上， 因此C选项正确；

对于D选项，画出$x^2+y^2=1$，此曲线是以原点为圆心$1$为 半径的圆，$x^2+y^2\le 1$表示圆的内部和圆上的点，通过画图 发现曲线$x^2+y^2-xy=1$上的点有一部分在圆内，有一部分 在圆外，因此D选项错误； 故选：$BC$．

【解法三】：${\left(x+y\right)}^2-3xy=1$，${\left(x+y\right)}^2-1=3xy\le 3{\left(\frac{x+y}{2}\right)}^2$，解得$-2\le x+y\le 2$. 另一方面，$x^2+y^2-1=xy\le \frac{x^2+y^2}{2}$，解得$x^2+y^2\le 2$.， $1-xy=x^2+y^2\ge 2\left|xy\right|$，解得$-\frac{1}{3}\le xy\le 1$，所以$x^2+y^2=1+xy\in \left[\frac{2}{3},2\right]$,故选：$BC$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 基本不等式的对称结构处理：对于像 $x^2+y^2-xy=1$ 这样的强对称式约束，利用 $(x+y{)}^2$ 和 $x^2+y^2$ 与 $xy$ 之间的基本不等关系进行代数放缩，是规避繁琐计算最通用的快刀。
2. 二次型配方与换元：形如 $A{x}^2+Bxy+C{y}^2=D$ 的方程均可通过配方成 $(ax+by{)}^2+(cy{)}^2=R^2$ 的形式，进而进行三角换元。这能将多元非线性问题转化为一元三角函数最值问题，虽然计算量稍大，但逻辑极度清晰，是解决此类问题的“保底实用技巧”。
3. 避坑指南：在判断极小值时，绝不能主观认定 $x,y$ 同号（即 $xy⩾0$）。当 $x,y$ 异号时，$xy<0$ 恰恰对应了该图形（椭圆）的短轴端点，即离原点最近的地方，这也是 D 选项专门设置的思维盲区。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展（极坐标法快速求解 C/D）：对于判定 $x^2+y^2$ 的范围，可以直接引入极坐标。 令 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$ 代入原方程，可得： $r^2{\cos }^2\theta +r^2{\sin }^2\theta -r^2\sin \theta \cos \theta =1$ $r^2(1-\frac{1}{2}\sin 2\theta )=1⟹r^2=\frac{1}{1-\frac{1}{2}\sin 2\theta }$。 因为 $\sin 2\theta \in [-1,1]$，所以 $1-\frac{1}{2}\sin 2\theta \in [\frac{1}{2},\frac{3}{2}]$。 故 $r^2\in [\frac{2}{3},2]$，即 $x^2+y^2\in [\frac{2}{3},2]$。极坐标法直接快速求解 C 和 D 选项！

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 1999-全国卷理-19 解-对数型无理不等式
• 2009-大纲卷I理-16
• 江苏卷-21D 解-柯西不等式