2025-北京卷-15 填-函数性质

本题导读

描述: 本题是填空题的压轴题.考查对函数单调性复合运算、奇偶性定义及函数方程构造的综合理解.要求考生能够通过代数推导识别单调性的矛盾，并利用奇偶函数的分解性质判定解的存在性.

📌【题干】

Question

（2025年北京卷）关于定义域为 $\mathbb{R}$ 的函数 $f(x)$，以下说法正确的有 $\underline{}$ .

① 存在在 $\mathbb{R}$ 上单调递增的函数 $f(x)$ 使得 $f(x)+f(2x)=-x$ 恒成立；

② 存在在 $\mathbb{R}$ 上单调递减的函数 $f(x)$ 使得 $f(x)+f(2x)=-x$ 恒成立；

③ 使得 $f(x)+f(-x)=\cos x$ 恒成立的函数 $f(x)$ 存在且有无穷多个；

④ 使得 $f(x)-f(-x)=\cos x$ 恒成立的函数 $f(x)$ 存在且有无穷多个.

🔍【思路分析】

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1. 判定 ① 与 ②（单调性与方程）：

• 复合单调性：若 $f(x)$ 增，则 $f(2x)$ 也增， 其和 $g(x)=f(x)+f(2x)$ 必为增函数。对比等式右侧 $y=-x$ 的单调性即可发现矛盾.

• 构造模型：尝试构造一次函数 $f(x)=kx$ 来验证是否存在符合条件的模型.

2. 判定 ③（偶部构造）：

• 结构 $f(x)+f(-x)$ 本质上是提取函数 $f(x)$ 的偶部（乘以 2）. 利用“任意函数均可拆分为奇部与偶部之和”的原理，给出一个特解并加上任意奇函数进行构造.

3. 判定 ④（奇部冲突）：

• 结构 $f(x)-f(-x)$ 本质上是提取函数 $f(x)$ 的奇部（乘以 2）.
• 检查等式右侧函数 $\cos x$ 的奇偶性（它是偶函数）以及特殊点值（如 $x=0$），寻找逻辑漏洞.

✅【答案】

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②③

✍【详细解析】

Abstract

**1. 判定说法 ① 假设存在 $\mathbb{R}$ 上的增函数 $f(x)$ 满足 $f(x)+f(2x)=-x$.

• 因为 $f(x)$ 单调递增，且内层函数 $2x$ 也是增函数，所以 $f(2x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增.
• 根据增函数性质，两个增函数的和 $g(x)=f(x)+f(2x)$ 必须是 $\mathbb{R}$ 上的增函数.
• 然而等式右侧为 $y=-x$，这是一个单调递减函数.
• 增函数不能恒等于减函数**，故产生矛盾，说法 ① 错误.

**2. 判定说法 ② 尝试构造一次函数 $f(x)=kx$. 代入方程：$kx+k(2x)=-x⟹3kx=-x⟹k=-\frac{1}{3}$. 取 $f(x)=-\frac{1}{3}x$，该函数在 $\mathbb{R}$ 上单调递减，且满足： $f(x)+f(2x)=-\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}x=-x$. 因此存在符合条件的单调递减函数，说法 ② 正确.

3. 判定说法 ③ 设 $f(x)=\frac{1}{2}\cos x+g(x)$，其中 $g(x)$ 是定义域为 $\mathbb{R}$ 的任意奇函数**. 验证方程左侧： $f(x)+f(-x)=[\frac{1}{2}\cos x+g(x)]+[\frac{1}{2}\cos (-x)+g(-x)]$ 因为 $\cos (-x)=\cos x$ 且 $g(-x)=-g(x)$，上式简化为： $\frac{1}{2}\cos x+g(x)+\frac{1}{2}\cos x-g(x)=\cos x$. 由于 $\mathbb{R}$ 上的奇函数 $g(x)$ 有无穷多个（如 $g(x)=mx,m\in \mathbb{R}$）， 所以满足条件的 $f(x)$ 存在且有无穷多个，说法 ③ 正确.

4. 判定说法 ④ 设 $H(x)=f(x)-f(-x)$. 易知 $H(-x)=f(-x)-f(x)=-H(x)$，故 $H(x)$ 必须是一个奇函数**. 若 $f(x)-f(-x)=\cos x$ 恒成立，则要求 $\cos x$ 是一个奇函数. 但 $\cos x$ 是偶函数，且当 $x=0$ 时： $H(0)=f(0)-f(0)=0$，而右侧 $\cos 0=1$. $0\ne 1$ 产生矛盾，故满足条件的函数 $f(x)$ 不存在，说法 ④ 错误. 故填：②③

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复合函数单调性的叠加原理、奇偶函数分解定理（任意函数均可拆为一奇一偶之和）、函数方程的自由度变量控制、奇偶性矛盾拦截。
2. 核心方法：奇偶同构分解法与单调性对冲法。 本题作为填空压轴，考查纯粹的数学概念底层。在核对③、④时，切忌盲目主观凭空猜测。最稳妥、最高维的破题特技是直接引入 $f(x)=g(x)+h(x)$（一偶一奇） 这一高等数学里的泛函空间基底思想。通过代入直接剥离出方程对哪一部分进行了锁定，对哪一部分留下了完全自由的度量，方向极度明确。
3. 避坑指南：

• 避坑指南 1（误认为②中含有 $2x$ 无法构造线性解）：部分同学在做②时，看到 $f(2x)$ 的自变量翻倍，直观上联想到复杂的指数或对数多项式，从而不敢使用最基础的 $f(x)=kx$ 去试探。记住：越是抽象的方程，第一步优先用常数或一元线性函数探路.
• 避坑指南 2（④中漏掉奇偶性冲突误选无穷多）：个别同学认为既然③有无穷多个，④长得差不多应该也一样。务必时刻保持严密的运算复核：左侧 $f(x)-f(-x)$ 天然关于原点中心对称（奇），右侧关于 $y$ 轴对称（偶），“奇偶互不兼容”是解析几何与代数里的刚性防御红线.

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题底层源自高等数学《数学分析》中关于“泛函方程初步”以及“函数空间的对称性分解”的核心概念。北京卷命题组通过将高阶的算子思维降维包装为高一最基础的单调性不等式和奇偶性加减，纯粹考查学生的数学逻辑本质，是一道不落俗套、不考死记硬背二级结论的巅峰神作。
2. 结论推广（通用的函数方程奇偶解度量决策网络）： 为了让您的文献库知识图谱具备最高阶的直觉，我们可以将此类“双变量反射型函数方程”的自由度规律提炼为一个通用的二级决策网络：

• 设已知函数 $P(x)$。
• 对于方程 $f(x)+f(-x)=P(x)$：
• 若 $P(x)$ 为偶函数 $⟹$ 解存在且有无穷多个（奇函数部分完全自由）；
• 若 $P(x)$ 包含奇函数分量 $⟹$ 解绝对不存在。.
• 对于方程 $f(x)-f(-x)=P(x)$：
• 若 $P(x)$ 为奇函数 $⟹$ 解存在且有无穷多个（偶函数部分完全自由）；
• 若 $P(x)$ 包含偶函数分量 $⟹$ 解绝对不存在.
• 我们来用该高阶网络直接盲审本题：③中右侧为偶函数，符合第一条，秒判无穷多；④中右侧为偶函数，与第二条的奇函数要求产生对冲，秒判不存在。公式化的规律能让您在考场上拥有降维审视的底气.

3. 方法推广（从代数方程到抽象算子核心迁移）： 本题所展现的利用单调性与奇偶性进行盾牌拦截的思想，具有极强的跨章节迁移能力。当未来题目变异为更高级的“结合导数性质（如 $f^{\prime }(x)+f^{\prime }(-x)=x^2$ ）”或者是解析几何大题最后一问中出现的“证明图形某种隐形对称性的存在性”时，其底层的代数重组技术——“将复杂表达式拆解为对称分量与非对称分量，通过两端性质对齐实现消元”，其技术本质完全相通。内化这一套逻辑链条，是攻克整张高考卷全部压轴题最坚固的铠甲.

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2013-上海卷理-12 填-函数奇偶性
• 2013-四川卷理-10 单-单调性
• 2013-四川卷理-14 填-函数奇偶性