2026-新高考II卷-02 单-集合

本题导读

本题考查集合的交集运算与无理方程的求解。核心意图在于测试学生利用代数方程解出描述法集合 $B$ 的具体元素，进而准确提取两个集合的公共元素。

📌【题干】

Question

（2026年新高考II卷）已知集合 $A=\{0,1,3,6,9\}$， $B=\{x\mid \sqrt{x}=x\}$，则 $A\cap B=$()

A. $\{0,1\}$　　　　B. $\{3,6\}$　　　　C. $\{0,1,9\}$　　　　D. $\{0,3,9\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：化简集合 $B$。通过求解无理方程 $\sqrt{x}=x$，确定集合 $B$ 中包含的具体元素，将描述法转换为列举法。
2. 第二步逻辑：根据交集 $A\cap B$ 的定义，寻找同时属于集合 $A$ 和集合 $B$ 的相同公共元素。
3. 第三步逻辑：将求得的公共元素填入集合符号内，对照选项锁定正确答案。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

集合 $B$ 为： $\sqrt{x}=x$ 将方程两边同时平方： $x=x^2⟹x^2-x=0$ $x(x-1)=0$ 解得两个实数根： $x_1=0,x_2=1$ 经检验， $x=0$ 和 $x=1$ 均满足前提条件 $x\ge 0$。 因此，集合 $B$ 用列举法可表示为： $B=\{0,1\}$ 已知集合 $A=\{0,1,3,6,9\}$，集合 $B=\{0,1\}$。 根据交集的运算定义： $A\cap B=\{0,1\}$

正确答案：A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：无理方程的整式化化简；集合交集的元素提取。
2. 核心方法：方程求解法。
3. 避坑指南：

• 想当然的平方数陷阱：部分学生在看到集合 $B$ 的表达式 $\sqrt{x}=x$ 及选项时，容易受到集合 $A$ 中含有 $9$ 的视觉干扰，误认为 $\sqrt{9}=3$ 或其它平方数关系符合方程，从而误选 C 或 D。务必通过严密的代数移项因式分解来确定方程的根，切忌凭直觉猜测元素。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题是高考试卷中极具代表性的高一主干基础题，将初等代数方程的求解作为外壳，考查集合运算这一核心主干知识。
2. 结论推广： 对于所有形如 $f(x)=\{x\mid x^n=x(n\in {\mathbf{N}}_{+},n\ge 2)\}$ 的幂方程集合，其在实数域 $\mathbf{R}$ 内的非负解集具有恒定的离散拓扑特征：

• 当 $n$ 极为奇数时，方程 $x^n=x⟹x(x^{n-1}-1)=0$，解集为 $\{-1,0,1\}$；
• 当引入根式 $\sqrt{x}=x$ 施加了非负约束时，其解集退化为唯一的平凡解对 $\{0,1\}$。 记住该常用基本方程的根之后，未来在考场上遇到此类集合交并补问题，可完全免除解对方程的中间步骤，实现 1 秒内直接肉眼读取答案。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2006-陕西卷理-01 单-自然数集的定义与数域限制
• 2008-大纲卷II理-01
• 2009-陕西卷理-01