2026-新高考II卷-09 多-圆的方程

本题导读

本题考查解析几何中圆的方程以及圆与特殊直线、圆与圆的位置关系判定。核心意图在于测试学生利用配方法求出圆心与半径，进而通过点到直线的距离、圆心距与半径和差的关系来定性定量判定切、交状态，并运用方程相减求解两圆公共弦。

📌【题干】

Question

（2026年新高考II卷）已知 $⊙ O : x^{2} + y^{2} = 1$ ， $⊙ A : x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y + k = 0$ ，则()

A. 点 $A$ 的坐标为 $(- 3, - 4)$

B. $k = 9$ 时， $⊙ A$ 与 $x$ 轴相切

C. 当 $k = - 11$ 时， $⊙ A$ 与 $⊙ O$ 相切

D. 当 $⊙ O$ 与 $⊙ A$ 相交时，两交点所在直线的方程是 $6 x + 8 y - k - 2 = 0$

🔍【思路分析】

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第一步逻辑（化简圆 $A$ 的方程）：利用配方法将圆 $A$ 的一般方程 $x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y + k = 0$ 化为标准方程 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ ，从而精确提取圆心 $A$ 的坐标以及关于 $k$ 的半径表达式 $r_{A} = 25 - k$ （需满足 $k < 25$ ）。

第二步逻辑（判定 A, B 选项）：

A选项直接对比圆心坐标。

B选项将 $k = 9$ 代入半径表达式，利用“圆与 $x$ 轴相切 $⟺$ 圆心纵坐标的绝对值等于半径 $r_{A}$ ”进行校验。

第三步逻辑（判定 C 选项）：计算圆 $O (0, 0)$ 与圆 $A (3, 4)$ 的圆心距 $d = ∣ O A ∣$ 。当 $k = - 11$ 时算出 $r_{A}$ 。对比圆心距 $d$ 与两圆半径之和 $r_{O} + r_{A}$ 或半径之差 $∣ r_{O} - r_{A} ∣$ 的大小关系，判定是否相切。

第四步逻辑（判定 D 选项）：两相交圆的公共弦所在的直线方程，可通过将两个圆的二次曲线方程联立相减，消去二次项 $x^{2} + y^{2}$ 直接求得。

✅【答案】

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BC

✍【详细解析】

Abstract

已知 $⊙ A : x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y + k = 0$ ，配方： $(x^{2} - 6 x + 9) + (y^{2} - 8 y + 16) + k - 9 - 16 = 0$ $(x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 25 - k$ 根据圆的存在性条件，必须满足 $25 - k > 0 ⟹ k < 25$ 。得到：

圆心 $A$ 的坐标为： $(3, 4)$

半径平方为： $r_{A}^{2} = 25 - k ⟹ r_{A} = 25 - k$

析 A 选项： 已求得 $⊙ A$ 的圆心坐标为 $(3, 4)$ 。选项 A 中给出的坐标为 $(- 3, - 4)$ ，符号错误。故 A 选项错误。

析 B 选项： 当 $k = 9$ 时， $r_{A}^{2} = 25 - 9 = 16 ⟹ r_{A} = 16 = 4$ 圆心 $A (3, 4)$ 到 $x$ 轴（直线 $y = 0$ ）的距离为圆心纵坐标的绝对值： $d_{A \to x 轴} = ∣4∣ = 4$ 因为圆心到 $x$ 轴的距离 $d = 4$ ，且圆的半径 $r_{A} = 4$ ，满足 $d = r_{A}$ 的充要条件。根据直线与圆的位置关系定理，此时 $⊙ A$ 与 $x$ 轴必然相切。故 B 选项正确。

析 C 选项： 已知 $⊙ O$ 的圆心为 $O (0, 0)$ ，半径 $r_{O} = 1$ 。 $⊙ A$ 的圆心为 $A (3, 4)$ 。两圆的圆心距 $d = ∣ O A ∣$ ： $d = (3 - 0)^{2} + (4 - 0)^{2} = 9 + 16 = 25 = 5$

当 $k = - 11$ 时，代入求解 $⊙ A$ 的半径： $r_{A}^{2} = 25 - (- 11) = 25 + 11 = 36 ⟹ r_{A} = 36 = 6$ 则两圆半径之差的绝对值： $∣ r_{A} - r_{O} ∣ = ∣6 - 1∣ = 5$ 由此可以发现，圆心距与两半径之差恰好相等： $d = ∣ r_{A} - r_{O} ∣ = 5$ 两圆处于内切状态故 C 选项正确。

D 选项： 当 $⊙ O$ 与 $⊙ A$ 相交时，联立两个圆的方程： ${⊙ O : x^{2} + y^{2} - 1 = 0 ⊙ A : x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y + k = 0$ 消去二次项 $x^{2} + y^{2}$ ： $(x^{2} + y^{2} - 1) - (x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y + k) = 0$ $- 1 + 6 x + 8 y - k = 0$ 即： $6 x + 8 y - k - 1 = 0$ 选项 D 中给出的方程为 $6 x + 8 y - k - 2 = 0$ ，故 D 选项错误。

正确答案：BC

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的一般方程转换；圆与特殊直线、两圆内切的临界距离计算；根基坐标系消元的公共弦法。

核心方法：距离判定法、方程消元法。

避坑指南：

公共弦方程常数项符号陷阱：在做 D 选项时，由于 $⊙ O$ 的标准方程写为 $x^{2} + y^{2} = 1$ ，直接相减时若忘记将右侧的 $1$ 移到左侧化为一般式 $- 1$ ，就会误用 $0 - k = - k$ 再减去 $1$ 的变形符号，导致错选。联立消元前必须把所有方程统一化为右侧等于 0 的一般形式。

相切内涵遗漏陷阱：C 选项算出来是内切，部分学生会主观认为“相切”只包含外切，从而不敢选 C。请明确：几何学中的“相切”是内切与外切的并称，只要满足 $d = r_{1} + r_{2}$ 或 $d = ∣ r_{1} - r_{2} ∣$ 均为正确命题。

📖【试题探源与推广】

Tip

本题是直线与圆、圆与圆位置关系的多选综合题：由一般方程配方定圆心半径，逐项校验坐标、相切、内切与公共弦方程，属于选择性必修一”圆的方程”单元的标准多选命题结构。

两圆 $x^{2} + y^{2} + D_{1} x + E_{1} y + F_{1} = 0$ 与 $x^{2} + y^{2} + D_{2} x + E_{2} y + F_{2} = 0$ （ $D_{1} \neq = D_{2}$ ）相交时，公共弦（根轴）方程由两式直接相减得到 $(D_{1} - D_{2}) x + (E_{1} - E_{2}) y + (F_{1} - F_{2}) = 0$ ，无需求交点；另须牢记”相切”是外切（ $d = r_{1} + r_{2}$ ）与内切（ $d = ∣ r_{1} - r_{2} ∣$ ）的并称。

圆的多选题通法三步：先配方把一般方程化为标准式读出圆心与半径；位置关系一律用圆心距与半径的代数比较判定；涉及公共弦直接作差消元，避免联立求交点的冗长运算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

17.01 圆的方程与圆系理论

17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

2014-江苏卷-09 填-弦长问题

2013-北京卷理-11 填-切割线定理

2013-天津卷理-13 填-切割线定理

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