2009-安徽卷文-12 填-程序框图循环

本题导读

考查循环框图。$a$ 依次为 $1,3,7,15,31,63,127$，$a_6=127>100$ 退出，输出 $127$。

📌【题干】

Question

（2009年安徽卷(文)） 程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 初值 $a=1$，每轮 $a=2a+1$ 后判断 $a>100$。
2. $a$ 依次为 $3,7,15,31,63,127$。
3. $63⩽100$ 继续一轮得 $127>100$，输出 $127$。

✅【答案】

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$127$

✍【详细解析】

Abstract

由流程图，初值为 $a_0=1$，每循环一次先将 $a$ 更新为 $2a+1$，再判断是否满足 $a>100$。 记更新 $k$ 次后的数为 $a_k$，则 $a_{k+1}=2a_k+1$。因而 $a_{k+1}+1=2(a_k+1)$，从而 $a_k=2^{k+1}-1$。 计算得 $a_5=63⩽100$，而 $a_6=127>100$，所以流程图输出 $127$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：程序框图的循环结构

核心方法：逐轮跟踪或配凑通项

避坑指南：$a_{k+1}=2a_k+1$ 配 $a_k+1$ 得 $a_k=2^{k+1}-1$：$63⩽100$ 继续一轮，$127>100$ 退出，输出 $127$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：累加型框图可跟踪也可求通项。

结论推广：$a_{k+1}=p{a}_k+q$ 型可配凑等比：$a_{k+1}+\frac{q}{p-1}=p\left(a_k+\frac{q}{p-1}\right)$。

方法推广：判断条件是”大于才退出”，最后一轮的值才算输出，别多算或少算一轮。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-江苏卷-07 填-程序框图循环
• 2009-浙江卷文-07 单-程序框图循环
• 2011-天津卷文-03 单-程序框图循环