2010-新课标卷文-08 单-框图裂项求和

本题导读

考查框图与裂项。$S={\sum }_{k=1}^5\frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$，选 D。

📌【题干】

Question

（2010年新课标卷(文)） 如果执行如图所示的框图，输入 $N=5$，则输出的数等于()

A. $\frac{5}{4}$　　　　　　　B. $\frac{4}{5}$　　　　　　　C. $\frac{6}{5}$　　　　　　　D. $\frac{5}{6}$

🔍【思路分析】

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1. 循环对 $k=1,2,3,4,5$ 累加 $\frac{1}{k(k+1)}$ 后输出。
2. $\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$。
3. $S=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

框图的功能是计算 $S={\sum }_{k=1}^5\frac{1}{k(k+1)}$：$k$ 从 $1$ 起，每次累加 $\frac{1}{k(k+1)}$，直到 $k=5$（$k<N$ 不成立）时输出。 由裂项 $\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$，得 $S=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{6}\right)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}.$ 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：程序框图的模拟执行与裂项求和

核心方法：逐次追踪 $k$ 与 $S$，识别累加结构后裂项

避坑指南：判断框 $k<N$ 在累加之后：$k=5$ 时仍执行累加再输出，共加 $5$ 项，不是 $4$ 项。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：框图题的通法是列表模拟：$k$、$S$ 两列逐行更新，直到跳出循环。

结论推广：$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$ 是裂项相消的基本型。

方法推广：先看出通项结构再求和，比逐项通分快得多。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-新课标卷文-10 单-程序框图累加
• 2009-天津卷文-06 单-程序框图累加平方
• 2009-山东卷文-15 填-程序框图
• 2009-广东卷文-11 填-程序框图