2013-天津卷文-04 单-充分必要条件

本题导读

本题考查充分条件与必要条件，以及不等式的性质。

📌【题干】

Question

（2013年天津卷(文)） 设 $a$，$b\in \mathbf{R}$，则"$(a-b)\cdot a^2<0$"是"$a<b$"的()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 若 $(a-b)a^2<0$，则 $a^2\ne 0$ 且 $a-b<0$ → $a<b$ → 充分。
2. 取 $a=0$，$b=1$：$a<b$ 成立，但 $(a-b)a^2=0$ 不 $<0$ → 不必要。
3. 充分而不必要 → A。

✅【答案】

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（A）

✍【详细解析】

Abstract

充分性：若 $(a-b)a^2<0$，则 $a^2>0$（否则左边等于 $0$ 矛盾），两边除以 $a^2>0$ 得 $a-b<0$，即 $a<b$。故条件是充分的。 必要性：取 $a=0$，$b=1$，则 $a<b$ 成立，但 $(a-b)a^2=(0-1)\times 0=0,$ 不满足 $(a-b)a^2<0$。故条件不是必要的。 所以"$(a-b)\cdot a^2<0$"是"$a<b$"的充分而不必要条件。 选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：充分条件与必要条件的判断

核心方法：$(a-b)a^2<0\Rightarrow a^2>0$ 且 $a-b<0\Rightarrow a<b$（充分）；$a=0$，$b=1$ 时 $a<b$ 但 $(a-b)a^2=0$ 不 $<0$（不必要）

避坑指南：双向检验：先由条件推结论（充分性），再反过来找反例（必要性）。反例取 $a=0$ 最省事——$a^2=0$ 使左边恒为 $0$，立即否定必要性。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：充分条件、必要条件的判断。

结论推广：定义法（推出关系）；举反例。

方法推广：正推验充分 → 反例验必要 → 定”充分不必要”。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

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