2013-山东卷文-05 单-函数定义域

本题导读

本题考查函数的定义域，以及指数不等式。

📌【题干】

Question

（2013年山东卷(文)） 函数 $f(x)=\sqrt{1-2^x}+\frac{1}{\sqrt{x+3}}$ 的定义域为()

A. $(-3,0]$　　B. $(-3,1]$　　C. $(-\infty ,-3)\cup (-3,0]$　　D. $(-\infty ,-3)\cup (-3,1]$

🔍【思路分析】

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1. $1-2^x⩾0⟺2^x⩽1⟺x⩽0$。
2. $x+3>0⟺x>-3$。取交集得 $(-3,0]$。

✅【答案】

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（A）

✍【详细解析】

Abstract

要使 $f(x)$ 有意义，需 $\{\begin{array}{l}1-2^x⩾0,\\ x+3>0.\end{array}$ 由 $1-2^x⩾0$ 得 $2^x⩽1=2^0$，由 $y=2^x$ 单调递增，得 $x⩽0$。 由 $x+3>0$ 得 $x>-3$（分母的根式取不到 $0$）。 取交集：$-3<x⩽0$，即定义域为 $(-3,0].$ 选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：根式与分式的定义域

核心方法：$1-2^x⩾0\Rightarrow x⩽0$；$x+3>0\Rightarrow x>-3$；定义域 $(-3,0]$

避坑指南：两个约束来源不同：被开方数 $1-2^x⩾0$ 是”允许取等”，分母 $\sqrt{x+3}>0$ 是”严格大于零”——把 $x=-3$ 写进区间、或把 $2^x$ 的指数当系数解成 $x⩽\frac{1}{2}$，都是本题埋的雷。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数定义域（山东卷常考小题）。

结论推广：$\sqrt{1-2^x}$ 要求 $1-2^x⩾0$；$\frac{1}{\sqrt{x+3}}$ 要求 $x+3>0$（分母不得为零）。

方法推广：求定义域：列出全部约束（被开方非负、分母非零、真数为正）→ 分别解不等式 → 取交集并用区间表示，注意端点开闭。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2014-山东卷文-03 单-函数定义域
• 2015-湖北卷文-06 单-函数定义域