2014-浙江卷理-20 解-空间位置关系的证明

本题导读

本题是立体几何综合大题。第一问要求证明线面垂直，核心在于转化线线垂直关系；第二问求解二面角，推荐使用空间向量法，通过建立空间直角坐标系，利用平面法向量的夹角公式求得结果。

📌【题干】

Question

（2014年浙江卷(理)） 如图，在四棱锥 $A-BCDE$ 中，平面 $ABC\perp$ 平面 $BCDE$，$\angle CDE=\angle BED=90^{\circ }$，$AB=CD=2,DE=BE=1,AC=\sqrt{2}$.

(1) 证明：$DE\perp$ 平面 $ACD$；

(2) 求二面角 $B-AD-E$ 的大小.

🔍【思路分析】

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1. 第一问思路：
   • 在底面直角梯形 $BCDE$ 中，易求得 $BC$ 的长度。
   • 观察 $△ABC$ 三边关系，利用勾股定理逆定理证明 $AC\perp BC$。
   • 结合面面垂直性质，推导出 $AC\perp$ 平面 $BCDE$，从而得到 $AC\perp DE$。
   • 结合底面中 $DE\perp CD$，利用线面垂直判定定理完成证明。
2. 第二问思路：
   • 坐标法（推荐）：以 $D$ 为原点，射线 $DE,DC$ 及过 $D$ 垂直于底面的射线分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。
   • 写出各顶点坐标，求出平面 $ADE$ 和平面 $ABD$ 的法向量。
   • 计算两个法向量夹角的余弦值，根据图形判断二面角的锐钝性质，从而得出最终角度。

✅【答案】

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$DE\perp$ 平面 $ACD$；求平面 $ADE$ 的法向量 $\vec{m}$；求平面 $ABD$ 的法向量 $\vec{n}$；计算夹角

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明：

在直角梯形 $BCDE$ 中，过 $B$ 作 $BH\perp CD$ 于 $H$。 则 $CH=CD-DE=2-1=1$，$BH=DE=1$。 在 $Rt△BHC$ 中，$BC=\sqrt{B{H}^2+C{H}^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。 在 $△ABC$ 中，$AC=\sqrt{2},BC=\sqrt{2},AB=2$。 因为 $A{C}^2+B{C}^2=2+2=4=A{B}^2$，所以 $AC\perp BC$。 又因为平面 $ABC\perp$ 平面 $BCDE$，且平面 $ABC\cap$ 平面 $BCDE=BC$，$AC\subset$ 平面 $ABC$， 所以 $AC\perp$ 平面 $BCDE$。 由于 $DE\subset$ 平面 $BCDE$，故 $AC\perp DE$。 已知 $\angle CDE=90^{\circ }$，即 $DE\perp CD$。 又 $AC\cap CD=C$，且 $AC,CD\subset$ 平面 $ACD$， 所以 $DE\perp$ 平面 $ACD$。

(2) 解：

以 $D$ 为原点，射线 $DE$ 为 $x$ 轴正半轴，射线 $DC$ 为 $y$ 轴正半轴，建立空间直角坐标系 $D-xyz$。 由 (1) 知 $AC\perp$ 平面 $BCDE$，则 $A$ 点的横、纵坐标与 $C$ 点一致，竖坐标为 $AC$。 各点坐标为：$D(0,0,0),E(1,0,0),C(0,2,0),A(0,2,\sqrt{2}),B(1,1,0)$。

1. 求平面 $ADE$ 的法向量 $\vec{m}$： $\overrightarrow{DE}=(1,0,0),\overrightarrow{DA}=(0,2,\sqrt{2})$。 设 $\vec{m}=(x_1,y_1,z_1)$，则 $\{\begin{array}{l}\vec{m}\cdot \overrightarrow{DE}=x_1=0\\ \vec{m}\cdot \overrightarrow{DA}=2y_1+\sqrt{2}{z}_1=0\end{array}$。 取 $z_1=-\sqrt{2}$，得 $y_1=1$，故 $\vec{m}=(0,1,-\sqrt{2})$。
2. 求平面 $ABD$ 的法向量 $\vec{n}$： $\overrightarrow{DA}=(0,2,\sqrt{2}),\overrightarrow{DB}=(1,1,0)$。 设 $\vec{n}=(x_2,y_2,z_2)$，则 $\{\begin{array}{l}\vec{n}\cdot \overrightarrow{DA}=2y_2+\sqrt{2}{z}_2=0\\ \vec{n}\cdot \overrightarrow{DB}=x_2+y_2=0\end{array}$。 取 $y_2=-1$，得 $x_2=1,z_2=\sqrt{2}$，故 $\vec{n}=(1,-1,\sqrt{2})$。
3. 计算夹角： $\cos ⟨\vec{m},\vec{n}⟩=\frac{\vec{m}\cdot \vec{n}}{|\vec{m}||\vec{n}|}=\frac{0-1-2}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{4}}=-\frac{3}{2\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$。 由于二面角 $B-AD-E$ 观察为锐角（或通过法向量方向判定）， 故二面角的大小为 $\frac{\pi }{6}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面垂直的判定与空间向量法求二面角

2. 核心方法：面面垂直⟹线面垂直⟹线线垂直的转化，建系时找准两两垂直的直线。

3. 避坑指南：求法向量时方程组的解不唯一，选择最简整数或根式即可；最后一步余弦值转角度时，务必根据图形判断是 $\theta$ 还是 $\pi -\theta$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 点到平面的距离（向量射影法）、线面角的向量求法。

2. 结论推广: 对于涉及垂直关系的立体几何题，空间向量法几乎是万能的“保分”方案。

3. 方法推广: 若不建系，可寻找 $AD$ 的垂面或在 $AD$ 上取点作二面角的平面角，但计算量通常更大。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.05 几何法求空间角专题
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2024-甲卷理-10 单-线面位置关系
• 2014-浙江卷文-06 单-线面位置关系
• 2014-广东卷文-09 单-空间直线位置