2008-上海卷文-01 填-绝对值不等式

本题导读

考查绝对值不等式。$|x-1|<1$ 等价于 $-1<x-1<1$，解集 $(0,2)$。

📌【题干】

Question

（2008年上海卷(文)） 不等式 $|x-1|<1$ 的解集是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. $|t|<1⟺-1<t<1$。
2. 代 $t=x-1$：$-1<x-1<1$。
3. 各加 $1$：$0<x<2$。

✅【答案】

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$(0,2)$

✍【详细解析】

Abstract

$|x-1|<1⟺-1<x-1<1⟺0<x<2$. 所以解集为 $(0,2)$. 故答案为 $(0,2)$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：绝对值不等式

核心方法：$|x-1|<1⟺-1<x-1<1⟺0<x<2$

避坑指南：$|t|<a⟺-a<t<a$ 是万能起手；整体代换 $t=x-1$ 后各边同步平移；答案写开区间（严格不等号）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：绝对值不等式是上海卷填空第一题常客，2010 上海文第 2 题、2009 大纲Ⅰ文第 3 题同型。

结论推广：$|x-c|<r⟺c-r<x<c+r$：几何意义是到 $c$ 的距离小于 $r$。

方法推广：区间关于对称中心 $c=1$ 检验：$(0,2)$ 关于 $1$ 对称即自查通过；去绝对值别忘绝对值内取负的情形。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I文-03 单-分式绝对值不等式
• 2010-新课标卷文-24 解-绝对值不等式
• 2010-江西卷文-05 单-绝对值不等式解集
• 2009-江西卷文-15 填-半圆不等式解集