2008-上海卷文-08 填-五点取三古典概型

本题导读

考查古典概型与共线。任取三点 $10$ 种，剔除两条对角线上的共线组，$P=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$。

📌【题干】

Question

（2008年上海卷(文)） 在平面直角坐标系中，从五个点：$A(0,0)$、$B(2,0)$、$C(1,1)$、$D(0,2)$、$E(2,2)$ 中任取三个，这三点能构成三角形的概率是$\underline{}$.（结果用分数表示）

🔍【思路分析】

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1. 总数 ${\mathrm{C}}_5^3=10$。
2. 共线检查：$A(0,0)$、$C(1,1)$、$E(2,2)$ 在 $y=x$ 上；$B(2,0)$、$C(1,1)$、$D(0,2)$ 在 $y=-x+2$ 上。
3. 其余三本书其余三点组均不共线：$10-2=8$。
4. $P=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$。

✅【答案】

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$\frac{4}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

从五个点中任取三个，共有 ${\mathrm{C}}_5^3=10$ 种取法. 三点共线的情形： $A(0,0)$、$C(1,1)$、$E(2,2)$ 都在直线 $y=x$ 上； $B(2,0)$、$C(1,1)$、$D(0,2)$ 都在直线 $y=-x+2$ 上. 其余取法三点均不共线. 所以能构成三角形的取法有 $10-2=8$ 种，所求概率为 $P=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}.$ 故答案为 $\frac{4}{5}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：古典概型与共线剔除

核心方法：${\mathrm{C}}_5^3=10$，共线 $2$ 组，$P=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$

避坑指南：“能构成三角形”$⟺$ 三点不共线；共线检查逐条直线扫描：正对角线 $y=x$ 与反对角线 $y=-x+2$ 各含三点。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“点集取三构三角形”是几何背景的古典概型，2009 安徽文第 13 题、2010 上海文第 10 题同型。

结论推广：$P=\frac{\text{不共线取法数}}{{\mathrm{C}}_n^3}$；网格点共线看斜率。

方法推广：五个点里逐对连线找第三点：$AC$ 延长到 $E$、$BC$ 延长到 $D$——共线组 $2$ 个即答案的分母减 $2$。

🔗【关联脉络】

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• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2009-安徽卷文-13 填-古典概型
• 2009-浙江卷文-17 填-古典概型
• 2010-上海卷文-10 填-扑克牌古典概型
• 2010-天津卷文-18 解-古典概型